Question

【題目】如圖，二次函數的圖象與軸交于點A、B，與y軸交于點C，點A的坐標為(-4,0)，P是拋物線上一點 （點P與點A、B、C不重合）．

（1）b=　　，點B的坐標是　　；

（2）設直線PB直線AC交于點M，是否存在這樣的點P，使得PM:MB=1:2？若存在，求出點P的橫坐標；若不存在，請說明理由；

（3）連接AC、BC，判斷∠CAB和∠CBA的數量關系，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（，0）；（2）存在點P的橫坐標為或．（3）∠CBA=2∠CAB.理由見解析.

【解析】

（1）由點A的坐標，利用二次函數圖象上點的坐標特征可求出b的值，代入y=0求出x值，進而可得出點B的坐標；

（2）（解法一）代入x=0求出y值，進而可得出點C的坐標，由點A、C的坐標利用待定系數法可求出直線AC的解析式，假設存在，設點M的坐標為（m，m+2），分B、P在直線AC的同側和異側兩種情況考慮，由點B、M的坐標結合PM：MB=1：2即可得出點P的坐標，再利用二次函數圖象上點的坐標特征可得出關于m的一元二次方程，解之即可得出結論；

（解法二）代入x=0求出y值，進而可得出點C的坐標，由點A、C的坐標利用待定系數法可求出直線AC的解析式，過點B作BB′∥y軸交直線AC于點B′，過點P作PP′∥y軸交直線AC于點P′，由點B的坐標可得出BB′的值，結合相似三角形的性質可得出PP′的值，設點P的坐標為（x，-x2-x+2），則點P′的坐標為（x，x+2），結合PP′的值可得出關于x的含絕對值符號的一元二次方程，解之即可得出結論；

（3）作∠CBA的角平分線，交y軸于點E，過點E作EF⊥BC于點F，設OE=n，則CE=2-n，EF=n，利用面積法可求出n值，進而可得出，結合∠AOC=90°=∠BOE可證出△AOC∽△BOE，根據相似三角形的性質可得出∠CAO=∠EBO，再根據角平分線的性質可得出∠CBA=2∠EBO=2∠CAB，此題得解．

（1）點在二次函數的圖象上，

，

．

當時， 有，

解得：，，

點的坐標為，．

故答案為：；，．

（2） （方 法一） 當時，，

點的坐標為．

設直線的解析式為，

將、代入中，

得：，解得：，

直線的解析式為．

假設存在， 設點的坐標為．

①當點、在直線的異側時， 點的坐標為，，

點在拋物線上，

，

整理， 得：．

△，

方程無解， 即不存在符合題意得點；

②當點、在直線的同側時， 點的坐標為，，

點在拋物線上，

，

整理， 得：，

解得：，，

點的橫坐標為或．

綜上所述： 存在點，使得，點的橫坐標為或．

（3），理由如下：

作的角平分線， 交軸于點，過點作于點，如圖 2 所示 ．

點，，點，

，，．

設，則，，

由面積法， 可知：，即，

解得：．

，，

，

，

．