Question

已知二次函數y=ax²+bx+c（a≠0）的圖象經過A（-3，0），B（1，0），C（0，-2），點D在y軸的負半軸上，且點D的坐標為（0，-9），
①求二次函數的解析式．
②點E在①中的拋物線上，四邊形ABCE是以AB為一底邊的梯形，求點E的坐標．
③在①、②成立的條件下，過點E作直線EF⊥OA，垂足為F，直線EF與線段AD相交于點G，在拋物線上是否存在點P，使直線PG與y軸相交所成的銳角等于梯形ABCE的底角？若存在請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：①已知函數的圖象經過A，B，C三點，把三點的坐標代入解析式就可以得到一個三元一次方程組，就可以求出函數的解析式；
②由題意和圖象可知CE∥AB，可求的E點的縱坐標為-2，把-1代入y=

2

3

x²+

4

3

x-2．可求的點E橫坐標．
③首先求得點F的坐標，根據Rt△AFG∽Rt△AOD，則

AF

AO

=

FG

OD

=

1

3

，求得G（-2，-3），H（0，-3），根據Rt△AFE≌Rt△BOC，所以AE=BC，所以梯形ABCE是等腰梯形，所以∠BAE=∠ABC．當∠GMH=∠ABC，可以推知Rt△GHM≌Rt△COB，所以HM=OB=1．然后分類討論：點M在線段OH上和點M在線段HD上，設出直線PG的解析式并求出來，根據P既在PG上，又在拋物線上列出方程組，如果有解，就可以求得點P的坐標，同時說明點P的存在；如果方程組無解，說明點P不存在．

解答：解：①y=ax²+bx+c的圖象經過A（-3，0），B（1，0），C（0，-2），三點，

0=9a-3b+c 0=a+b+c -2=c

解得：a=

2

3

，b=

4

3

，c=-2．
∴y=

2

3

x²+

4

3

x-2．

②由題意和圖象可知CE∥AB，
∴E點的縱坐標為-2，
∴-2=

2

3

x²+

4

3

x-2．
即x²+2x=0，
∴x₁=0（舍），x₂=-2，
∴E點的坐標為（-2，-2）；
       
③答：存在．
設直線PG與y軸交于點M，過點G作GH⊥OD于H．
∵點G在AD上，GF∥OD，E（-2，-2），
∴F（-2，0）．
又∵∠FAG=∠OAD，∠AFG=∠AOD=90°，
∴Rt△AFG∽Rt△AOD，
∴

AF

AO

=

FG

OD

=

1

3

．
又∵OD=9，
∴FG=3，
∴G（-2，-3），H（0，-3）．
∵AF=BO=1，FE=OC=2，
易證Rt△AFE≌Rt△BOC，
∴AE=BC，
∴梯形ABCE是等腰梯形，
∴∠BAE=∠ABC．當∠GMH=∠ABC，可以推知Rt△GHM≌Rt△COB，
∴HM=OB=1．
①當點M在線段OH上時，則M（0，-2）．設P（x₁，y₁），直線PG的解析式為y=k₁x+b₁，則

-2k1+b1=-3 b1=-2

，
解得，k₁=

1

2

，
則y=

1

2

x-2．
∵點P既在PG上，又在拋物線上，
∴

y1= 1 2 x1-2 y1= 2 3 x 2 1 + 4 3 x1-2

，
解得，

x1=0 y1=-2

或

x1=- 5 4 y1=- 21 8

，
則P（0，-2）或（-

5

4

，-

21

8

）；
②當點P在線段HD上時，則M（0，-4）．
設P（x₂，y₂），易求直線PG的解析式為y=

1

2

x-4．
∵點P既在PG上，又在拋物線上，
∴

y2= 1 2 x2-4 y2= 2 3 x 2 2 + 4 3 x2-2

，
∴4

x

2 2

+11x₂+12=0，
∵△=-71，∴點P不存在．
綜上所述，拋物線上存在符合條件的點P有2個，P（0，-2）或（-

5

4

，-

21

8

）．

點評：本題著重考查了待定系數法求二次函數解析式，考查學生分類討論，數形結合的數學思想方法．綜合性強，能力要求極高．