Question

【題目】如圖1．已知⊙M與x軸交于A、B兩點，與y軸交于C、D兩點，A、B兩點的橫坐標分別為﹣1和7，弦AB的弦心距MN為3，

（1）求⊙M的半徑；

（2）如圖2，P在弦CD上，且CP＝2，Q是弧BC上一動點，PQ交直徑CF于點E，當∠CPQ＝∠CQD時，

①判斷線段PQ與直徑CF的位置關系，并說明理由；

②求CQ的長；

（3）如圖3．若P點是弦CD上一動點，Q是弧BC上一動點，PQ交直徑CF于點E，當∠CPQ與∠CQD互余時，求△PEM面積的最大值．

Answer 1

【答案】（1）5；（2）①PQ⊥CF；詳見解析；②4；（3）△PEM面積的最大值為3

【解析】

（1）連接MB，根據題意得出AB=8，再結合垂徑定理可得BN=4，最后進一步利用勾股定理計算求解即可；

（2）①連接DF，由圓周角定理得出∠CDF=90°，由此進一步證明∠CEP＝90°即可；②作MN⊥AB于N，MG⊥CD于G，延長QP交⊙M于H，從而通過分析可得AN=4，MN=3,MG=ON=3，再者得出MN=MG，進一步證明CD=AB=8，然后利用勾股定理求得DF=6，接著證明△CPE與△CFD相似，利用相似三角形性質得出CE與PE的長，從而求出EF，最后在此基礎上進一步分析求解即可；

（3）先證出∠DCF=∠CPQ，得出CE=PE，再作EK⊥CP于K，PT⊥CM于T，連接DF，則CK＝PK，，據此設EK＝3x，則CK＝4x，CE＝PE＝5x，PC＝8x，接著證明△CPT~△CFD，利用相似三角形性質得出PT＝，CT＝，最后根據三角形面積公式得到△PEM的面積，由此利用二次函數的性質進一步求解即可.

（1）連接MB，如圖1所示：

∵A、B兩點的橫坐標分別為和7，

∴AB＝8，

∵MN⊥AB，

∴BN＝4，

在Rt△BMN中，由勾股定理得：

，

∴⊙M的半徑為5；

（2）①PQ⊥CF；理由如下：

連接DF，如圖2所示，

∵CF是⊙M的直徑，

∴∠CDF＝90°，

∴∠CFD+∠DCF＝90°，

∵∠CQD＝∠CFD，

∴∠CQD+∠DCF＝90°，

∵∠CPQ＝∠CQD，

∴∠CPQ+∠DCF＝90°，

∴∠CEP＝90°，

∴PQ⊥CF；

②作MN⊥AB于N，MG⊥CD于G，延長QP交⊙M于H，如圖3所示：

則AN＝4，MN＝3，MG＝ON＝3，

∴MN＝MG，

∴CD＝AB＝8，

在Rt△CDF中，CF＝2BM＝10，，

由①得：PQ⊥CF，

∴∠CEP＝∠CDF＝90°，EH＝EQ，

∵∠PCE＝∠FCD，

∴△CPE~△CFD，

∴，

即，

解得：CE＝，PE＝，

∴EF＝CFCE＝，

∵EQ×EH＝CE×EF，即，

在Rt△CPE中，由勾股定理得：；

（3）∵CF是⊙M的直徑，

∴∠CDF＝90°，

∴∠F+∠DCF＝90°，

∵∠CQD＝∠F，

∴∠CQD+∠DCF＝90°，

∵∠CPQ+∠CQD＝90°，

∴∠DCF＝∠CPQ，

∴CE＝PE，

作EK⊥CP于K，PT⊥CM于T，再連接DF，如圖4所示，

則CK＝PK，，

設EK＝3x，則CK＝4x，CE＝PE＝5x，PC＝8x，

∵∠PCT=∠DCF，∠CTP=∠CDF=90°，

∴△CPT~△CFD，

∴，

∴PT＝，CT＝，

∴△PEM的面積，

∵，

∴S有最大值，且當時，S的最大值為3，

即△PEM面積的最大值為3．