Question

【題目】已知的邊與x軸重合，，反比例函數在第一象限內的圖象與邊交于點，與AB邊交于點，的面積為2.

（1）直接寫出之間的數量關系 ；當時，求反比例函數及直線的表達式；

（2）設直線與y軸交于點F,點P在射線FD上，在（1）的條件下，如果與相似，求點的坐標.

Answer 1

【答案】(1) n=2m；反比例函數的解析式為y=，直線AB的函數解析式為y=x+1.

(2) (1,1)或(5,1).

【解析】

（1）將D（4，m）、E（2，n）代入反比例函數解析式，進而得出n，m的關系；利用△BDE的面積為2，得出m的值，進而得出D，E，B的坐標，利用待定系數法求出一次函數與反比例函數關系式即可；

（2）利用△AEO與△EFP 相似存在兩種情況，分別利用圖形分析得出即可．

(1)∵D(4,m)、E(2,n)在反比例函數的圖象上，

∴.

整理，得n=2m；

如圖1，過點E作EH⊥BC，垂足為H.

在Rt△BEH中,tan∠BEH=tan∠A=，

因為EH=2，所以BH=1.

因此D(4,m),E(2,2m),B(4,2m+1).

已知△BDE的面積為2，

所以BD·EH= (m+1)×2=2.

解得m=1.

因此D(4,1),E(2,2),B(4,3).

因為點D(4,1)在反比例函數的圖象上，

所以k=4.

因此反比例函數的解析式為y=，

設直線AB的解析式為y=kx+b,代入B(4,3)、E(2,2)，

得，

解得，

因此直線AB的函數解析式為y=x+1.

(2)∵AB解析式為y=x+1.

∴A（-2,0），F（0，1），又D(4,1),E(2,2),B(4,3).

∴AE=2，EF=

因為直線y=x+1與y軸交于點F(0,1),點D的坐標為(4,1)，

所以FD∥x軸,∠EFP=∠EAO.

因此△AEO與△EFP 相似存在兩種情況：

①如圖2,當時,

解得FP=1.此時點P的坐標為(1,1).

②如圖3,當時,.

解得FP=5.

此時點P的坐標為(5,1).

綜上所述,P點坐標為：(1,1)或(5,1).