Question

【題目】如圖，在矩形中，，，點(diǎn)是邊上一點(diǎn)，且．點(diǎn)是直線上一點(diǎn)且在點(diǎn)的右側(cè)，，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿射線方向以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒．以為圓心，為半徑作半圓，交直線分別于點(diǎn)，（點(diǎn)在的左側(cè)）．

（1）當(dāng)秒時(shí)，的長(zhǎng)等于__________，__________秒時(shí)，半圓與相切；

（2）當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，求半圓被矩形的對(duì)角線所截得的弦長(zhǎng)；

（3）若，求扇形的面積．

（參考數(shù)據(jù)：，，）

Answer 1

【答案】（1），；（2）當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，半圓被矩形的對(duì)角線所截得的弦長(zhǎng)為；（3）或．

【解析】

（1）先根據(jù)線段的和差求出BP的長(zhǎng)，再根據(jù)勾股定理即可求出PC的長(zhǎng)；先根據(jù)圓的性質(zhì)、勾股定理求出BP的長(zhǎng)，再根據(jù)線段的和差求出PQ的長(zhǎng)，由此即可求出t的值；

（2）如圖3（見解析），先在中，求出，從而可得，再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出，然后根據(jù)正弦三角函數(shù)值求出CF的長(zhǎng)，最后根據(jù)垂徑定理即可得；

（3）先依題意分兩種情況，再分別根據(jù)三角形的外角性質(zhì)求出的度數(shù)，然后根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出PC的長(zhǎng)，最后根據(jù)扇形的面積公式求解即可得．

（1）四邊形ABCD是矩形

當(dāng)秒時(shí)，

若半圓與相切，則點(diǎn)P在線段AB上，且

設(shè)，則

在中，，即

解得

故答案為：，；

（2）如圖3，過點(diǎn)作于

在中，

，

在中，

，即

由垂徑定理可得：

故當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，半圓被矩形的對(duì)角線所截得的弦長(zhǎng)為；

（3）若，分以下兩種情況：

①如圖4，

在中，

則

②如圖5，

在中，

則

綜上，扇形的面積為或．