Question

【題目】如圖，已知直角坐標平面上的，，，且，，．若拋物線經過、兩點．

求、的值；

將拋物線向上平移若干個單位得到的新拋物線恰好經過點，求新拋物線的解析式；

設中的新拋物的頂點點，為新拋物線上點至點之間的一點，以點為圓心畫圖，當與軸和直線都相切時，聯結、，求四邊形的面積．

Answer 1

【答案】；新拋物線的解析式為；四邊形的面積為．

【解析】

（1）只需把點A、C的坐標代入拋物線的解析式就可解決問題；

（2）可設新拋物線的解析式為y=x2﹣2x﹣3+k，然后求出點B的坐標，并把點B的坐標代入新拋物線的解析式，就可解決問題；

（3）設⊙Q與x軸相切于點D，與直線BC相切于點E，連接QD、QE，易證四邊形QECD是正方形，則有QD=DC．設點Q的橫坐標為t，從而得到點Q的坐標為（t，3﹣t），代入新拋物線的解析式，求出點Q的坐標，然后運用割補法就可求出四邊形ABQP的面積．

（1）∵拋物線y=ax2+bx﹣3經過A（﹣1，0）、C（3，0），∴，解得：；

（2）設拋物線向上平移k個單位后得到的新拋物線恰好經過點B，則新拋物線的解析式為y=x2﹣2x﹣3+k．

∵A（﹣1，0）、C（3，0），∴CB=AC=3﹣（﹣1）=4．

∵∠ACB=90°，∴點B的坐標為（3，4）．

∵點B（3，4）在拋物線y=x2﹣2x﹣3+k上，∴9﹣6﹣3+k=4，解得：k=4，∴新拋物線的解析式為y=x2﹣2x+1；

（3）設⊙Q與x軸相切于點D，與直線BC相切于點E，連接QD、QE，如圖所示，則有QD⊥OC，QE⊥BC，QD=QE，∴∠QDC=∠DCE=∠QEC=90°，∴四邊形QECD是矩形．

∵QD=QE，∴矩形QECD是正方形，∴QD=DC．

設點Q的橫坐標為t，則有OD=t，QD=DC=OC﹣OD=3﹣t，∴點Q的坐標為（t，3﹣t）．

∵點Q在拋物線y=x2﹣2x+1上，∴t2﹣2t+1=3﹣t，解得：t1=2，t2=﹣1．

∵Q為拋物線y=x2﹣2x+1上P點至B點之間的一點，∴t=2，點Q的坐標為（2，1），∴OD=2，QD=CD=1．

由y=x2﹣2x+1=（x﹣1）2得頂點P的坐標為（1，0），∴OP=1，PD=OD﹣OP=2﹣1=1，∴S四邊形ABQP=S△ACB﹣S△PDQ﹣S梯形DQBC

=ACBC﹣PDQD﹣（QD+BC）DC

=×4×4﹣×1×1﹣×（1+4）×1

=5

∴四邊形ABQP的面積為5．