Question

【題目】已知A（2,0），B（6,0），CB⊥x軸于點B，連接AC

畫圖操作：

（1）在y正半軸上求作點P，使得∠APB=∠ACB（尺規作圖，保留作圖痕跡）

理解應用：

（2）在（1）的條件下，

①若tan∠APB ，求點P的坐標

②當點P的坐標為 時，∠APB最大

拓展延伸：

（3）若在直線yx+4上存在點P，使得∠APB最大，求點P的坐標

Answer 1

【答案】（1）圖形見解析（2）（0，2），（0，4）（0，2）（3）（，）

【解析】試題分析：（1）以AC為直徑畫圓交y軸于P，連接PA、PB，∠PAB即為所求；

（2）①由題意AC的中點K（4，4），以K為圓心AK為半徑畫圓，交y軸于P和P′，易知P（0，2），P′（0，6）；

②當⊙K與y軸相切時，∠APB的值最大，（3）如圖3中，當經過AB的園與直線相切時，∠APB最大．想辦法求出點P坐標即可解決問題；

試題解析：解：（1）∠APB如圖所示；

（2）①如圖2中，∵∠APB=∠ACB，∴tan∠ACB=tan∠APB==．∵A（2，0），B（6，0），∴AB=4，BC=8，∴C（6，8），∴AC的中點K（4，4），以K為圓心AK為半徑畫圓，交y軸于P和P′，易知P（0，2），P′（0，6）．

②當⊙K與y軸相切時，∠APB的值最大，此時AK=PK=4，AC=8，∴BC==4，∴C（6，4），∴K（4，2），∴P（0，2）．故答案為：（0，2）．

（3）如圖3中，當經過AB的園與直線相切時，∠APB最大．∵直線y=x+4交x軸于M（﹣3，0），交y軸于N（0，4）．∵MP是切線，∴MP2=MAMB，∴MP=3，作PK⊥OA于K．∵ON∥PK，∴==，∴==，∴PK=，MK=，∴OK=﹣3，∴P（﹣3，）．