Question

【題目】如圖，平行四邊形ABCD中，AB⊥AC，AB=2，AC=4．對角線AC，BD相交于點O，將直線AC繞點O順時針旋轉α°，分別交直線BC、AD于點E、F．

（1）當α=　 　°，四邊形ABEF是平行四邊形；

（2）在旋轉的過程中，從A、B、C、D、E、F中任意4個點為頂點構造四邊形．

①α=　 　°，構造的四邊形是菱形；

②若構造的四邊形是矩形，求出該矩形的面積．

Answer 1

【答案】（1）當α=90°，四邊形ABEF是平行四邊形（2）①45或90②

【解析】

（1）由AB⊥AC得到∠BAC=90°，然后根據平行四邊形的對角線互相平分，可得AB=OA=2，即△AOB是等腰直角三角形，則∠AOB=45°，再根據平行四邊形的判定，當EF∥AB時，四邊形ABEF是平行四邊形，可得EF⊥AC，根據旋轉的性質可得α=90°；

（2）①同（1）的判斷，由菱形的判定可得到α的度數；

②先根據勾股定理求出BC的長，然后根據同一個三角形的面積的不同求法，得到平行線間的距離，由矩形的判定與性質，可得分情況求解.

(1) 90°；

(2)① 45°或90°；

②∵AB⊥AC，AB=2，AC=4，∴BC=2，

根據條件，可得AD與BC的距離h=.

如圖①，

當EF=AC時，四邊形AECF為矩形，矩形AECF的對角線長為4，

∴，

∴矩形AECF的面積=.

如圖②，

當EF=BD時，四邊形AECF為矩形，矩形AECF的對角線長為4，

∴，

∴矩形AECF的面積=.