Question

【題目】如圖1，⊙O的直徑AB＝12，P是弦BC上一動點（與點B，C不重合），∠ABC＝30°，過點P作PD⊥OP交⊙O于點D．

（1）如圖2，當PD∥AB時，求PD的長；

（2）如圖3，當時，延長AB至點E，使BE＝AB，連接DE．

①求證：DE是⊙O的切線；

②求PC的長．

Answer 1

【答案】（1）2；（2）①見解析；②CP的長為：3﹣3或3+3．

【解析】

（1）根據題意首先得出半徑長，再利用銳角三角函數關系得出OP，PD的長；
（2）①首先得出△OBD是等邊三角形，進而得出∠ODE=∠OFB=90°，求出答案即可；
②首先求出CF的長，進而利用直角三角形的性質得出PF的長，進而得出答案．

解：（1）如圖2，連接OD，

∵OP⊥PD，PD∥AB，

∴∠POB＝90°，

∵⊙O的直徑AB＝12，

∴OB＝OD＝6，

在Rt△POB中，∠ABC＝30°，

∴OP＝OBtan30°＝6×＝2，

在Rt△POD中，

PD＝＝＝2；

（2）①證明：如圖3，連接OD，交CB于點F，連接BD，

∵，

∴∠DBC＝∠ABC＝30°，

∴∠ABD＝60°，

∵OB＝OD，

∴△OBD是等邊三角形，

∴OD⊥FB，

∵BE＝AB，

∴OB＝BE，

∴BF∥ED，

∴∠ODE＝∠OFB＝90°，

∴DE是⊙O的切線；

②由①知，OD⊥BC，

∴CF＝FB＝OBcos30°＝6×＝3，

在Rt△POD中，OF＝DF，

∴PF＝DO＝3（直角三角形斜邊上的中線，等于斜邊的一半），

∴CP＝CF﹣PF＝3﹣3，

當點P在點B與點F之間時，同理可得：

CP＝CF+PF＝3+3，

綜上所述：CP的長為：3﹣3或3+3．