Question

【題目】如圖，在直角△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，AC＝8．D、E分別是AC、BC邊的中點，點P從A出發沿線段AD﹣DE﹣EB以每秒3個單位長的速度向B勻速運動；點Q從點A出發沿射線AB以每秒2個單位長的速度勻速運動，當點P與點B重合時停止運動，點Q也隨之停止運動，設點P、Q運動時間是t秒，（t＞0）

（1）當t＝　 　時，點P到達終點B；

（2）當點P運動到點D時，求△BPQ的面積；

（3）設△BPQ的面積為S，求出點Q在線段AB上運動時，S與t的函數關系式；

（4）請直接寫出PQ∥DB時t的值．

Answer 1

【答案】（1）4秒；（2）；（3）Q在線段AB上運動時，S與t的函數關系式為S＝，（4）

【解析】

（1）由已知和勾股定理先求出BC，再由D，E分別是AC，BC的中點，求出AD、DE、BE，從而求出t；

（2）先求出當點P運動到點D時所用時間，得出AQ的長，即可求出BQ的長，再根據△BPQ的面積=BQAP進行計算即可；

（3）由已知用t表示出AQ、AP、BQ，再由∠A=90°，通過面積公式求出S與t的函數關系式；

（4）通過假設，分兩種情況討論即可求解．

（1）已知Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，

由勾股定理得：BC＝＝＝10，

又由D，E分別是AC，BC的中點，

∴AD＝4，DE＝3，BE＝5，

∴當點P到達終點B時所用時間t＝（4+3+5）÷3＝4（秒），

答t的值為4秒．

（2）當點P運動到點D時，所用時間為秒，

所以AQ＝×2＝，

∴BQ＝6﹣＝，

∴△BPQ的面積＝BQAP＝×4＝；

（3）①如圖，當點P在AD上（不包含D點），

由已知得：AQ＝2t，AP＝3t，

∴BQ＝AB﹣AQ＝6﹣2t，

已知∠A＝90°，

∴△BPQ的面積S＝BQAP＝（6﹣2t）3t＝﹣3t2+9t，

所以Q在線段AB上運動時，S與t的函數關系式為S＝﹣3t2+9t；

②如圖當點P在DE（包括點D、E）上，

過點P作PF⊥AB于F，

則PF＝AD＝4，

∴△BPQ的面積S＝BQPF＝（6﹣2t）4＝12﹣4t，

所以此時Q在線段AB上運動時，S與t的函數關系式為S＝12﹣4t；

③當點P在BE上（不包括E點），

由已知得：BP＝3+4+5﹣3t＝12﹣3t，

過點P作PF⊥AB于F，

∴PF∥AC，

∴△BPF∽△BCA，

∴，

∴，

∴PF＝，

∴△BPQ的面積S＝BQPF＝（6﹣2t）＝，，

所以Q在線段AB上運動時，S與t的函數關系式為S＝，，

（4）若PQ∥DB，則點P、Q必在DB同側．分兩種情況：

①當點Q在AB上，點P在AD上時，

假設PQ∥DB成立，

則△AQP∽△ABD，

∴，

∴，

此時方程的解是t＝0，但此解不符合題意，

則PQ∥DB不成立，

②當3＜t＜4時，點Q在AB延長線上，點P在EB上，

此時PB＝12﹣3t，PE＝3t﹣7，BQ＝2t﹣6．

若PQ∥DB，設直線PQ交DE與N，

∵DE∥AB，

∴△PEN∽△PBQ，

∴EN：BQ＝PE：PB，

則EN＝；

又∵NQ∥DB，

∴EN：ED＝EP：EB，

則EN＝，

所以＝，

解得t＝符合題意．

綜上所述，當t＝時，PQ∥DB．