Question

如圖，已知AB是⊙O的切線，BC為⊙O的直徑，AC與⊙O交于點D，點E為AB的中點，PF⊥BC交BC于點G，交AC于點F
（1）求證：ED是⊙O的切線；
（2）求證：△CFP∽△CPD；
（3）如果CF=1，CP=2，sinA=，求O到DC的距離．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接OD，證OD⊥DE即可．易證∠ADB=90°，又點E為AB的中點，得DE=EB．根據等腰三角形性質可證∠ODE=∠OBE=90°，得證；
（2）可證∠A=∠DBC，所以要求BC需先求DC．結合已知條件，證明△PDC與△FPC相似．
（3）根據△PCF∽△DCP，得出CD的長度，進而求出O到DC的距離即可．
解答：（1）證明：連接OD．
∵BC為直徑，
∴△BDC為直角三角形．
在Rt△ADB中，E為AB中點，
∴BE=DE，
∴∠EBD=∠EDB．
又∵OB=OD，∴∠OBD=∠ODB，
∵∠OBD+∠ABD=90°，∴∠ODB+∠EDB=90°．
∴ED是⊙O的切線．

（2）證明：∵PF⊥BC，
∴∠FPC=90°-∠BCP（直角三角形的兩個銳角互余）．
∵∠PDC=90°-∠PDB（直徑所對的圓周角是直角），∠PDB=∠BCP（同弧所對的圓周角相等），
∴∠FPC=∠PDC（等量代換）．
又∵∠PCF是公共角，
∴△PCF∽△DCP．

（3）解：過點O作OM⊥CD于點M，
∵△PCF∽△DCP，
∴PC²=CF•CD（相似三角形的對應邊成比例）．
∵CF=1，CP=2，
∴CD=4．
可知sin∠DBC=sinA=sin∠MOC=，
∴=，即=，
∴直徑BC=5，
∴=，
∴MC=2，
∴MO=，
∴O到DC的距離為．
點評：此題考查了切線的判定、相似三角形的判定和性質、三角函數等知識點，綜合性較強，根據相似三角形的性質得出CD的長度是解題關鍵．