Question

【題目】如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中點，連接DE并延長交CB的延長線于點F，點M在BC邊上，且∠MDF=∠ADF．

（1）求證：△ADE≌△BFE．
（2）如果FM=CM，求證：EM垂直平分DF．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵AD∥BC，

∴∠A=∠EBF，∠ADE=∠F．

∵E是AB的中點，

∴AE=BE．

在△ADE與△BFE中，

，

∴△ADE≌△BFE（AAS）

（2）證明：∵AD∥BC，

∴∠ADE=∠F．

∵∠MDF=∠ADF，

∴∠MDF=∠F．

∴FM=DM．

∵△ADE≌△BFE，

∴EF=DE．

∴點E為邊DF的中點．

∴ME⊥DF．

即EM垂直平分DF

【解析】（1）根據AD∥BC，可得∠A=∠EBF，∠ADE=∠F，由E是AB的中點，可得AB=BE，從而可以證明△ADE≌△BFE；（2）由△ADE≌△BFE，可得DE與EF相等，點E為DF的中點，再根據∠MDF=∠ADF，AD∥BC，FM=CM，可以得到MF=MD，然后根據等腰三角形三線合一，可以證明結論成立．
【考點精析】利用線段垂直平分線的性質對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知垂直于一條線段并且平分這條線段的直線是這條線段的垂直平分線；線段垂直平分線的性質定理：線段垂直平分線上的點和這條線段兩個端點的距離相等．