Question

【題目】如圖（1），在平面直角坐標系中，直線y=-x+m交y軸于點A，交x軸于點B，點C為OB的中點，作C關于直線AB的對稱點F，連接BF和OF，OF交AC于點E，交AB于點M．

（1）直接寫出點F的坐標（用m表示）；

（2）求證：OF⊥AC；

（3）如圖（2），若m=2，點G的坐標為（-，0），過G點的直線GP：y=kx+b（k≠0）與直線AB始終相交于第一象限；

①求k的取值范圍；

②如圖（3），若直線GP經過點M，過點M作GM的垂線交FB的延長線于點D，在平面內是否存在點Q，使四邊形DMGQ為正方形？如果存在，請求出Q點坐標；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）（m，m）（2）見解析（3）①0＜k＜6②（，-）

【解析】

（1）CF⊥AB，CR=FR，則∠RCB=45°，則RC=RB=RF，∠RBF=45°，即FB⊥x軸，即可求解；

（2）證明△AOC≌△OBF（HL），即可求解；

（3）①將點（-，0）代入y=kx+b即可求解；②求出點D（2，-1），證明△MNG≌△MHD（HL），即可求解．

解：（1）y=-x+m，令x=0，則y=m，令y=0，則x=m，則∠ABO=45°，

故點A、B的坐標分別為：（0，m）、（m，0），則點C（m，0），

如圖（1）作點C的對稱軸F交AB于點R，則CF⊥AB，CR=FR，

則∠RCB=45°，則RC=RB=RF，

∴∠RBF=45°，即FB⊥x軸，

故點F（m，m）；

（2）∵OC=BF=m，OB=OA，

∴△AOC≌△OBF（HL），

∴∠OAC=∠FOB，

∵∠OAC+∠AOE=90°，

∴∠OAC+∠AOE=90°，

∴∠AEO=90°，

∴OF⊥AC；

（3）①將點（-，0）代入y=kx+b得：

，解得：，

由一次函數圖象知：k＞0，

∵交點在第一象限，則，

解得：0＜k＜6；

②存在，理由：

直線OF的表達式為：y=x，直線AB的表達式為：y=-x+2，

聯立上述兩個表達式并解得：x=，故點M（，），

直線GM所在函數表達式中的k值為：，則直線MD所在直線函數表達式中的k值為-，

將點M坐標和直線DM表達式中的k值代入一次函數表達式并解得：

直線DM的表達式為：y=-x+4，故點D（2，-1），

過點M作x軸的垂線于點N，作x軸的平行線交過點G于y軸的平行線于點S，

過點G作y軸的平行線交過點Q與x軸的平行線于點T，

則，

∴△MNG≌△MHD（HL），

∴MD=MG，

則△GTQ≌△MSG，則GT=MS=GN=，TQ=SG=MN=，

故點Q（，-）．