Question

【題目】如圖，在△ABC中，D是BC邊上的一點，E是AD的中點，過A點作BC的平行線交CE的延長線于點F，且AF=BD，連接BF．

（1）BD與CD有什么數量關系，并說明理由；

（2）當△ABC滿足什么條件時，四邊形AFBD是矩形？并說明理由．

Answer 1

【答案】解：（1）BD=CD。理由如下：

∵AF∥BC，∴∠AFE=∠DCE。

∵E是AD的中點，∴AE=DE。

∵在△AEF和△DEC中，∠AFE=∠DCE，∠AEF=∠DEC，AE=DE，

∴△AEF≌△DEC（AAS）。∴AF=CD。

∵AF=BD，∴BD=CD。

（2）當△ABC滿足：AB=AC時，四邊形AFBD是矩形。理由如下：

∵AF∥BD，AF=BD，∴四邊形AFBD是平行四邊形。

∵AB=AC，BD=CD，∴∠ADB=90°。

∴AFBD是矩形。

【解析】

試題（1）根據兩直線平行，內錯角相等求出∠AFE=∠DCE，然后利用“角角邊”證明△AEF和△DEC全等，根據全等三角形對應邊相等可得AF=CD，再利用等量代換即可得證；

（2）先利用一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形證明四邊形AFBD是平行四邊形，再根據一個角是直角的平行四邊形是矩形，可知∠ADB=90°，由等腰三角形三線合一的性質可知必須是AB=AC．

試題解析：（1）BD=CD．

理由如下：依題意得AF∥BC，

∴∠AFE=∠DCE，

∵E是AD的中點，

∴AE=DE，

在△AEF和△DEC中，

，

∴△AEF≌△DEC（AAS），

∴AF=CD，

∵AF=BD，

∴BD=CD；

（2）當△ABC滿足：AB=AC時，四邊形AFBD是矩形．

理由如下：∵AF∥BD，AF=BD，

∴四邊形AFBD是平行四邊形，

∵AB=AC，BD=CD（三線合一），

∴∠ADB=90°，

∴AFBD是矩形．