Question

【題目】如圖①所示，已知正方形ABCD和正方形AEFG，G、A、B在同一直線上，點E在AD上，連接DG，BE．

（1）證明：BE＝DG；

（2）發現：當正方形AEFG繞點A旋轉，如圖②所示，判斷BE與DG的數量關系和位置關系，并說明理由；

（3）探究：如圖③所示，若四邊形ABCD與四邊形AEFG都為矩形，且AD＝2AB，AG＝2AE時，判斷BE與DG的數量關系和位置關系是否與（2）的結論相同，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）BE＝DG，BE⊥DG，理由見解析；（3）數量關系不成立即BE≠DG，DG＝2BE，理由見解析；位置關系成立，理由見解析

【解析】

（1）根據正方形的性質及全等三角形的判定可得△ABE≌△DAG（SAS），再根據全等三角形的性質即可得出結論；

（2）根據正方形的性質可知：AE＝AG，AB＝AD，∠BAD＝∠EAG＝90°，再根據同腳的余角相等得出∠BAE＝∠DAG，然后根據全等三角形的判定定理得出△ABE≌△DAG（SAS）再由全等三角形的性質定理可得出BE＝DG，∠ABE＝∠ADG；延長BE交AD于T，交DG于H．進而得出∠DHB=90°，即BE⊥DG．

（3）根據四邊形ABCD和四邊形AEFG都是矩形，且AD＝2AB，AG＝2AE時，則△ABE∽△ADG，再根據相似三角形的性質即可得出結論．

解：（1）證明：∵四邊形ABCD和四邊形AEFG是正方形，

∴AE＝AG，AB＝AD，∠BAD＝∠EAG＝90°，

∴△ABE≌△DAG（SAS），

∴BE＝DG；

（2）BE＝DG，BE⊥DG．

如圖1中，∵四邊形ABCD和四邊形AEFG是正方形，

∴AE＝AG，AB＝AD，∠BAD＝∠EAG＝90°，

∴∠BAE＝∠DAG，

在△ABE和△DAG中，

，

∴△ABE≌△DAG（SAS），

∴BE＝DG；∠ABE＝∠ADG，

延長BE交AD于T，交DG于H．

∵∠ATB+∠ABE＝90°，

∴∠ATB+∠ADG＝90°，

∵∠ATB＝∠DTH，

∴∠DTH+∠ADG＝90°，

∴∠DHB＝90°，

∴BE⊥DG．

（3）數量關系不成立，它們的數量關系為DG＝2BE，位置關系成立．

如圖2中，延長BE交AD于T，交DG于H．

∵四邊形ABCD與四邊形AEFG都為矩形，

∴∠BAD＝∠DAG，

∴∠BAE＝∠DAG，

∵AD＝2AB，AG＝2AE，

∴，

∴△ABE∽△ADG，

∴∠ABE＝∠ADG，，

∴DG＝2BE，

∵∠ATB+∠ABE＝90°，

∴∠ATB+∠ADG＝90°，

∵∠ATB＝∠DTH，

∴∠DTH+∠ADG＝90°，

∴∠DHB＝90°，

∴BE⊥DG．