Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，拋物線與x軸交于點A，B（A在B的左側），拋物線的對稱軸與x軸交于點D，且OB=2OD．

（1）當時，

①寫出拋物線的對稱軸；

②求拋物線的表達式；

（2）存在垂直于x軸的直線分別與直線：和拋物線交于點P，Q，且點P，Q均在x軸下方，結合函數圖象，求b的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）①；②；（2）或．

【解析】

（1）①由二次函數的對稱軸方程可得出答案；

②根據題意求出B點坐標為（2，0），代入拋物線解析式可得出答案；

（2）求出E（-，0），點D的坐標為（-，0）．①當b＞0時，得出點A的坐標為（-2b，0），點B的坐標為（b，0），則-2b＜-，解不等式即可；②當b＜0時，點A的坐標為（0，0），點B的坐標為（-b，0），則0＜-，解出b＜-2．

解：（1）當時，化為．

①．

②∵拋物線的對稱軸為直線，

∴點D的坐標為（-1，），OD=1．

∵OB=2OD，

∴ OB=2．

∵點A，點B關于直線對稱，

∴點B在點D的右側．

∴ 點B的坐標為（，）．

∵拋物線與x軸交于點B（，），

∴ ．

解得．

∴拋物線的表達式為．

（2）設直線與x軸交點為點E，

當y=0時，

∴

∴ E（，0）．

拋物線的對稱軸為，

∴點D的坐標為（，）．

①當時，．

∵OB=2OD，

∴ OB=b．

∴ 點A的坐標為（，），點B的坐標為（b，）．

當<時，存在垂直于x軸的直線分別與直線：和拋物線交于點P，Q，且點P，Q均在x軸下方，

解得．

②當時，．

∴ ．

∵OB=2OD，

∴ OB=-b．

∵拋物線與x軸交于點A，B，且A在B的左側，

∴ 點A的坐標為（，），點B的坐標為（-b，）．

當0<時，存在垂直于x軸的直線分別與直線：和拋物線交于點P，Q，且點P，Q均在x軸下方，

解得b<-2．

綜上，b的取值范圍是或．