Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，二次函數y=ax2+bx+c的圖象經過點A（﹣1，0），B（0，﹣ ），C（2，0），其對稱軸與x軸交于點D

（1）求二次函數的表達式及其頂點坐標；

（2）若P為y軸上的一個動點，連接PD，求PB+PD的最小值；

（3）M（x，t）為拋物線對稱軸上一動點

①若平面內存在點N，使得以A，B，M，N為頂點的四邊形為菱形，則這樣的點N共有　 　個；

②連接MA，MB，若∠AMB不小于60°，求t的取值范圍．

Answer 1

【答案】拋物線解析式為y=x2﹣x﹣，頂點坐標（，﹣）．

（2）PB+PD的最小值為

（3）①5

②取值范圍是

【解析】二次函數的表達式有三種方法，這題很明顯可以用頂點式以及交點式更方便些；這一題根據邊的關系得出∠ABO=30°非常重要，根據在直角三角形中，30°所對的邊是斜邊的一半把所要求的邊轉化，再根據點到直線垂線段最短求得最小值；第三問ABMN組成菱形，只有AB是定點，所以要討論AB是鄰邊還是對角線；最后一問與圓的知識相結合，有一定的難度，主要根據∠ABO=30°，AB=2是定值，以AB的垂直平分線與y軸的交點為圓心F，以FA為半徑，則弧AB所對的圓周角為60°，與對稱軸的兩個交點即為t的取值范圍。

解：（1）方法一：設二次函數的表達式為，B（0，-）代入解得

∴

∴頂點坐標為

方法二：也可以用三點式設代入三點或者頂點式設代入兩點求得。

如圖，過P點作DE⊥AB于E點，由題意已知∠ABO=30°。

∴

∴

要使最小，只需要D、P、E共線，所以過D點作DE⊥AB于E點，與y軸的交點即為P點。

由題意易知，∠ADE=∠ABO=30°，

①若A、B、M、N為頂點的四邊形為菱形，分兩種情況，由題意知，AB=2，

若AB為邊菱形的邊，因為M為拋物線對稱軸上的一點，即分別以A、B為頂點，AB的長為半徑作圓與對稱軸的交點即為M點，這樣的M點有四個，如圖

若AB為菱形的對角線，根據菱形的性質，作AB的垂直平分線與對稱軸的交點即為M點。

綜上所述，這樣的M點有5個，所以對應的N點有5個。

②如圖，作AB的垂直平分線，與y軸交于F點。

由題意知，AB=2，∠BAF=∠ABO=30°，∠AFB=120°

∴以F為圓心，AF的長為半徑作圓交對稱軸于M和M'點，則∠AMB=∠AM'B=∠AFB=60°

∵∠BAF=∠ABO=30°，OA=1

∴∠FAO=30°，AF==FM=FM'，OF=，過F點作FG⊥MM'于G點，已知FG=

∴，又∵G

∴M（，M'

∴

方法二：設M，M到點F的距離d=AF=也可求得．

“點睛”本題考查二次函數綜合題、銳角三角函數、最短問題、圓等知識，解題的關鍵是掌握待定系數法確定解析式，學會利用垂線最短解決實際問題中 的最短問題，學會添加輔助線，構造圓解決角度問題，屬于中考壓軸題.