Question

【題目】如圖，AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點，AD與過點C的切線互相垂直，垂足為點D，AD交⊙O于點E，連接CE，CB．

（1）求證：CE=CB；

（2）若AC=，CE=，求AE的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）3．

【解析】

試題分析：（1）連接OC，利用切線的性質和已知條件推知OC∥AD，根據平行線的性質和等角對等邊證得結論；

（2）AE=AD﹣ED，通過相似三角形△ADC∽△ACB的對應邊成比例求得AD=4，DC=2．在直角△DCE中，由勾股定理得到DE==1，故AE=AD﹣ED=3．

試題解析：（1）證明：連接OC，∵CD是⊙O的切線，∴OC⊥CD．

∵AD⊥CD，∴OC∥AD，∴∠1=∠3．

又OA=OC，∴∠2=∠3，∴∠1=∠2，∴CE=CB；

（2）解：∵AB是直徑，∴∠ACB=90°，∵AC=，CB=CE=，∴AB= = =5．∵∠ADC=∠ACB=90°，∠1=∠2，∴△ADC∽△ACB，∴，即，∴AD=4，DC=2．在直角△DCE中，DE==1，∴AE=AD﹣ED=4﹣1=3．