Question

（2012•寶安區二模）如圖，已知⊙O中，半徑OC⊥弦AB于點D，∠AOC=60°．
（1）求證：△OAD≌△CBD；
（2）若AB=2，求圖中陰影部分的面積．

Answer 1

分析：（1）先由垂徑定理得出AD=BD，再根據∠AOC=60°可知∠OAD=30°，故OD=

1

2

OA，顧客的出OD=CD，由SAS定理即可得出結論；
（2）連接OB，在Rt△AOD中，AB=2可求出AD、OD、OA的長，由全等三角形的判定定理得出△AOD≌△BOD，顧客的出∠BOD=∠AOD=60°，由S_陰影=S_扇形COB-S_△CDB即可得出結論．

解答：（1）證明：∵半徑OC⊥弦AB于點D，
∴AD=BD，
∵∠AOC=60°，
∴∠OAD=30°，
∴OD=

1

2

OA，
∴OD=CD，
在△OAD與△CBD中，
∵

OD=CD ∠ADO=∠CDB AD=BD

，
∴△OAD≌△CBD；

（2）連接OB，
在Rt△AOD中，
∵AB=2，
∴AD=1，OD=

3

3

，OA=

2 3

3

，
∵在△AOD與△BOD中，
∵

OD=OD ∠ADO=∠BDO AD=BD

，
∴△AOD≌△BOD，
∴∠BOD=∠AOD=60°，
∴S_陰影=S_扇形COB-S_△CDB=

60π×( 2 3 3 )2

360

-

1

2

×1×

3

3

=

2π

9

-

3

6

．

點評：本題考查的是垂徑定理及扇形面積的計算，全等三角形的判定與性質，根據題意得出S_陰影=S_扇形COB-S_△AOD是解答此題的關鍵．