Question

【題目】問題情境：

在平面直角坐標系xOy中有不重合的兩點A（x1，y1）和點B（x2，y2），小明在學習中發現，若x1=x2，則AB∥y軸，且線段AB的長度為|y1﹣y2|；若y1=y2，則AB∥x軸，且線段AB的長度為|x1﹣x2|；

（應用）：

（1）若點A（﹣1，1）、B（2，1），則AB∥x軸，AB的長度為　 ．

（2）若點C（1，0），且CD∥y軸，且CD=2，則點D的坐標為　 　．

（拓展）：

我們規定：平面直角坐標系中任意不重合的兩點M（x1，y1），N（x2，y2）之間的折線距離為d（M，N）=|x1﹣x2|+|y1﹣y2|；例如：圖1中，點M（﹣1，1）與點N（1，﹣2）之間的折線距離為d（M，N）=|﹣1﹣1|+|1﹣（﹣2）|=2+3=5．

解決下列問題：

（1）已知E（2，0），若F（﹣1，﹣2），求d（E，F）；

（2）如圖2，已知E（2，0），H（1，t），若d（E，H）=3，求t的值；

（3）如圖3，已知P（3，3），點Q在x軸上，且三角形OPQ的面積為3，求d（P，Q）．

Answer 1

【答案】【應用】：（1）3；（2）（1，2）或（1，﹣2）；【拓展】：（1）5；（2）t=±2；（3）d（P，Q）的值為4或8．

【解析】

（1）根據若y1=y2，則AB∥x軸，且線段AB的長度為|x1-x2|，代入數據即可得出結論；
（2）由CD∥y軸，可設點D的坐標為（1，m），根據CD=2即可得出|0-m|=2，解之即可得出結論；
【拓展】：（1）根據兩點之間的折線距離公式，代入數據即可得出結論；
（2）根據兩點之間的折線距離公式結合d（E，H）=3，即可得出關于t的含絕對值符號的一元一次方程，解之即可得出結論；
（3）由點Q在x軸上，可設點Q的坐標為（x，0），根據三角形的面積公式結合三角形OPQ的面積為3即可求出x的值，再利用兩點之間的折線距離公式即可得出結論．

解：【應用】：

（1）AB的長度為|﹣1﹣2|=3．

故答案為：3．

（2）由CD∥y軸，可設點D的坐標為（1，m），

∵CD=2，

∴|0﹣m|=2，解得：m=±2，

∴點D的坐標為（1，2）或（1，﹣2）．

【拓展】

：

（1）d（E，F）=|2﹣（﹣1）|+|0﹣（﹣2）|=5．

故答案為：5．

（2）∵E（2，0），H（1，t），d（E，H）=3，

∴|2﹣1|+|0﹣t|=3，

解得：t=±2．

（3）由點Q在x軸上，可設點Q的坐標為（x，0），

∵三角形OPQ的面積為3，

∴|x|×3=3，解得：x=±2．

當點Q的坐標為（2，0）時，d（P，Q）=|3﹣2|+|3﹣0|=4；

當點Q的坐標為（﹣2，0）時，d（P，Q）=|3﹣（﹣2）|+|3﹣0|=8

綜上所述，d（P，Q）的值為4或8．