Question

【題目】問題提出

（1）如圖①，△ABC是等邊三角形，AB=12，若點O是△ABC的內心，則OA的長為 ；

問題探究

（2）如圖②，在矩形ABCD中，AB=12，AD=18，如果點P是AD邊上一點，且AP=3，那么BC邊上是否存在一點Q，使得線段PQ將矩形ABCD的面積平分？若存在，求出PQ的長；若不存在，請說明理由．

問題解決

（3）某城市街角有一草坪，草坪是由△ABM草地和弦AB與其所對的劣弧圍成的草地組成，如圖③所示．管理員王師傅在M處的水管上安裝了一噴灌龍頭，以后，他想只用噴灌龍頭來給這塊草坪澆水，并且在用噴灌龍頭澆水時，既要能確保草坪的每個角落都能澆上水，又能節約用水，于是，他讓噴灌龍頭的轉角正好等于∠AMB（即每次噴灌時噴灌龍頭由MA轉到MB，然后再轉回，這樣往復噴灌．）同時，再合理設計好噴灌龍頭噴水的射程就可以了．

如圖③，已測出AB=24m，MB=10m，△AMB的面積為96m2；過弦AB的中點D作DE⊥AB交于點E，又測得DE=8m．

請你根據以上信息，幫助王師傅計算噴灌龍頭的射程至少多少米時，才能實現他的想法？為什么？（結果保留根號或精確到0.01米）

Answer 1

【答案】（1）；（2）PQ=；（3）噴灌龍頭的射程至少為19.71米．

【解析】

試題分析：（1）構建Rt△AOD中，利用cos∠OAD=cos30°=，可得OA的長；

（2）經過矩形對角線交點的直線將矩形面積平分，根據此結論作出PQ，利用勾股定理進行計算即可；

（3）如圖3，作輔助線，先確定圓心和半徑，根據勾股定理計算半徑：

在Rt△AOD中，由勾股定理解得：r=13根據三角形面積計算高MN的長，證明△ADC∽△ANM，列比例式求DC的長，確定點O在△AMB內部，利用勾股定理計算OM，則最大距離FM的長可利用相加得出結論．

試題解析：（1）如圖1，過O作OD⊥AC于D，則AD=AC=×12=6，∵O是內心，△ABC是等邊三角形，∴∠OAD=∠BAC=×60°=30°，在Rt△AOD中，cos∠OAD=cos30°=，∴OA=6÷=，故答案為：；

（2）存在，如圖2，連接AC、BD交于點O，連接PO并延長交BC于Q，則線段PQ將矩形ABCD的面積平分，∵點O為矩形ABCD的對稱中心，∴CQ=AP=3，過P作PM⊥BC于點，則PM=AB=12，MQ=18﹣3﹣3=12，由勾股定理得：PQ= ==；

（3）如圖3，作射線ED交AM于點C．∵AD=DB，ED⊥AB，是劣弧，∴所在圓的圓心在射線DC上，假設圓心為O，半徑為r，連接OA，則OA=r，OD=r﹣8，AD=AB=12，在Rt△AOD中，r2=122+（r﹣8）2，解得：r=13，∴OD=5，過點M作MN⊥AB，垂足為N，∵S△ABM=96，AB=24，∴ABMN=96，×24×MN=96，∴MN=8，NB=6，AN=18，∵CD∥MN，∴△ADC∽△ANM，∴，∴，∴DC=，∴OD＜CD，∴點O在△AMB內部，∴連接MO并延長交于點F，則MF為草坪上的點到M點的最大距離，∵在上任取一點異于點F的點G，連接GO，GM，∴MF=OM+OF=OM+OG＞MG，即MF＞MG，過O作OH⊥MN，垂足為H，則OH=DN=6，MH=3，∴OM===，∴MF=OM+r=+13≈19.71（米）．

答：噴灌龍頭的射程至少為19.71米．