Question

【題目】某竹制品加工廠根據市場調研結果，對該廠生產的一種新型竹制品玩具未來兩年的銷售進行預測，并建立如下模型：設第t個月，竹制品銷售量為P（單位：箱），P與t之間存在如圖所示函數關系，其圖象是線段AB（不含點A）和線段BC的組合．設第t個月銷售每箱的毛利潤為Q（百元），且Q與t滿足如下關系Q=2t+8（0≤t≤24）．

（1）求P與t的函數關系式（6≤t≤24）．

（2）該廠在第幾個月能夠獲得最大毛利潤？最大毛利潤是多少？

（3）經調查發現，當月毛利潤不低于40000且不高于43200元時，該月產品原材料供給和市場售最和諧，此時稱這個月為“和諧月”，那么，在未來兩年中第幾個月為和諧月？

Answer 1

【答案】（1）P＝﹣t+26（6≤t≤24）；（2）該廠在第11個月能夠獲得最大毛利潤，最大毛利潤是45000元；（3）未來兩年中的和諧月有：6，7，8，14，15，16這六個月．

【解析】

（1）當6≤t≤24時，設P與t的函數關系式為P=kt+b，把點B（6，20）和C（24，2）代入求出k和b，即可得解；

（2）設直線AB的函數解析式為P=mt+n，將A（0，14），B （6，20）代入求出m和n，分0＜t＜6和6≤t≤24來討論求解；

（3）分0＜t＜6和6≤t≤24，結合（2）中求得的毛利潤函數，列不等式組可解．

（1）當6≤t≤24時，設P與t的函數關系式為P=kt+b．

∵該圖象過點B（6，20）和C（24，2），

∴，

∴，

∴P與t的函數關系式為P=﹣t+26（6≤t≤24）．

（2）設直線AB的函數解析式為P=mt+n，將A（0，14），B （6，20）代入得：

，

∴，

∴直線AB的函數解析式為P=t+14，

∴當0＜t＜6時，利潤L=QP=（2t+8）（t+14）=2t2+36t+112=2（t+9）2﹣50．

當t=5時，利潤L取最大值為2（5+9）2﹣50=342（百元）=34200（元）；

當6≤t≤24時，利潤L=QP=（2t+8）（﹣t+26）=﹣2t2+44t+208=﹣2（t﹣11）2+450．

450百元=45000元，

∴當t=11時，利潤L有最大值，最大值為45000元．

綜上所述：該廠在第11個月能夠獲得最大毛利潤，最大毛利潤是45000元．

（3）∵40000元=400百元，43200元=432百元，

∴或

第一個不等式無解，第二個不等式的解為6≤t≤8或14≤t≤16，

∴未來兩年中的和諧月有：6，7，8，14，15，16這六個月．