Question

【題目】綜合與探究

如圖，在平面直角坐標系中，已知拋物線與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C，直線l經過坐標原點O，與拋物線的一個交點為D，與拋物線的對稱軸交于點E，連接CE，已知點A，D的坐標分別為（－2，0），（6，－8）．

（1）求拋物線的函數表達式，并分別求出點B和點E的坐標；

（2）試探究拋物線上是否存在點F，使≌，若存在，請直接寫出點F的坐標；若不存在，請說明理由；

（3）若點P是y軸負半軸上的一個動點，設其坐標為（0，m），直線PB與直線l交于點Q．試探究：當m為何值時，是等腰三角形．

Answer 1

【答案】（1）；B（8,0）；E（3，-4）；（2）（）或（）；（3）或.

【解析】

試題（1）將A，D的坐標代入函數解析式，解二元一次方程即可求出函數表達式；點B坐標：利用拋物線對稱性，求出對稱軸結合A點坐標即可求出B點坐標；點E坐標：E為直線l和拋物線對稱軸的交點，利用D點坐標求出l表達式，令其橫坐標為，即可求出點E的坐標；（2）利用全等對應邊相等，可知FO=FC，所以點F肯定在OC的垂直平分線上，所以點F的縱坐標為-4，帶入拋物線表達式，即可求出橫坐標；（3）根據點P在y軸負半軸上運動，∴分兩種情況討論，再結合相似求解.

試題解析：（1）拋物線經過點A（－2，0），D（6，－8），

解得拋物線的函數表達式為

，拋物線的對稱軸為直線．又拋物線與x軸交于A，B兩點，點A的坐標為（－2，0）．點B的坐標為（8，0）

設直線l的函數表達式為．點D（6，－8）在直線l上，6k=－8，解得．

直線l的函數表達式為

點E為直線l和拋物線對稱軸的交點．點E的橫坐標為3，縱坐標為，

即點E的坐標為（3，－4）

（2）拋物線上存在點F，使≌．點F的坐標為（）或（）

（3）分兩種情況：

①當時，是等腰三角形．

點E的坐標為（3，－4），，過點E作直線ME//PB，交y軸于點M，交x軸于點H，則，點M的坐標為（0，－5）．

設直線ME的表達式為，，解得，ME的函數表達式為，令y=0，得，解得x=15，點H的坐標為（15，0）

又MH//PB，，即，

②當時，是等腰三角形． 當x=0時，，點C的坐標為（0，－8），

，OE=CE，，又因為，，，CE//PB

設直線CE交x軸于點N，其函數表達式為，，解得，

CE的函數表達式為，令y=0，得，，點N的坐標為（6，0）

CN//PB，，，解得

綜上所述，當m的值為或時，是等腰三角形．