Question

【題目】如圖①，在正方形ABCD中，△AEF的頂點E，F分別在BC，CD邊上，高AG與正方形的邊長相等，

（1）求∠EAF的度數；

（2）在圖①中，連結BD分別交AE、AF于點M、N，將△ADN繞點A順時針旋轉90°至△ABH位置，連結MH，得到圖②．求證：MN2＝MB2＋ ND2 ；

（3）在圖②中，若AG＝12， BM＝，直接寫出MN的值．

Answer 1

【答案】（1）45°；（2）證明見解析；（3）.

【解析】（1）∵正方形ABCD，AG⊥EF，

∴AG＝AB，∠ABE＝∠AGE＝∠BAD＝90°，AE＝AE，

∴Rt△ABE≌Rt△AGE，∴∠BAE＝∠GAE，……………………………………2分

同理Rt△ADF≌Rt△AGF，∴∠GAF＝∠DAF，…………………………………4分

∴∠EAF＝∠BAD＝45°；…………………………………………………………5分

（2）證明：由旋轉知，∠BAH=∠DAN，AH=AN，……………………………………7分

∵∠BAD=90°，∠EAF=45°，∴∠BAM+∠DAN=45°，

∴∠HAM=∠BAM+∠BAH=∠BAM+∠DAN =45°，

∴∠HAM=∠NAM，AM=AM，

∴△AHM≌△ANM，…………………………………………………………………8分

∴MN=MH，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠ADB=∠ABD=45°

由旋轉知，∠ABH=∠ADB=45°，HB=ND，

∴∠HBM=∠ABH+∠ABD=90°，……………………………………………………9分

∴，∴；…………………………………10分

（3）.…………………………………………………………………………………12分

以下解法供參考∵，∴；

在（2）中，

設，則．

∴．即.