Question

【題目】如圖，△ABC內接于⊙O，BC是直徑，⊙O的切線PA交CB的延長線于點P，OE∥AC交AB于點F，交PA于點E，連接BE．

（1）判斷BE與⊙O的位置關系并說明理由；

（2）若⊙O的半徑為4，BE=3，求AB的長．

Answer 1

【答案】（1）BE是⊙O的切線；（2）．

【解析】試題分析：（1）結論：BE是⊙O的切線．首先證明∠OAP=90°，再證明△EOB≌△EOA，推出∠OBE=∠OAE即可解決問題．
（2）由（1）可知AB=2BF，在Rt△BEO中，∠OBE=90°，OB=4，BE=3，可得OE==5，由BEOB=OEBF，可得BF=＝，由此即可解決問題．

試題解析：（1）BE是⊙O的切線．
理由：如圖連接OA．

∵PA是切線，
∴PA⊥OA，
∴∠OAP=90°，
∵BC是直徑，
∴∠BAC=90°，
∵OE∥AC，
∴∠OFB=∠BAC=90°，
∴OE⊥AB，
∴BF=FA，
∵OB=OA，
∴∠EOB=∠EOA，
在△EOB和△EOA中，
，

∴△EOB≌△EOA，
∴∠OBE=∠OAE=90°，
∴OB⊥BE，
∴BE是⊙O的切線．
（2）由（1）可知AB=2BF，
在Rt△BEO中，∵∠OBE=90°，OB=8，BE=6，
∴OE==5，
∵BEOB=OEBF，
∴BF=＝，
∴AB=2BF=
．