Question

【題目】如圖，矩形ABCD中，E是BD上的一點，∠BAE=∠BCE，∠AED=∠CED，

點G是BC、AE延長線的交點，AG與CD相交于點F。

求證：四邊形ABCD是正方形；

當AE=2EF時，判斷FG與EF有何數量關系？并證明你的結論。

Answer 1

【答案】（1）證明：∵∠CED是△BCE的外角，∠AED是△ABE的外角，

∴∠CED=∠CBE+∠BCE，∠AED=∠BAE+∠ABE。

∵∠BAE=∠BCE，∠AED=∠CED，∴∠CBE=∠ABE。

∵四邊形ABCD是矩形，∴∠ABC=∠BCD=∠BAD=90°，AB=CD。

∴∠CBE=∠ABE=45°。∴△ABD與△BCD是等腰直角三角形。

∴AB=AD=BC=CD，∴四邊形ABCD是正方形。

（2）解：當AE=2EF時，FG=3EF。證明如下：

∵四邊形ABCD是正方形，∴AB∥CD，AD∥BC，∴△ABE∽△FDE，△ADE∽△GBE。

∵AE=2EF，∴BE：DE=AE：EF=2。∴BC：AD=BE：DE=2，即BG=2AD。

∵BC=AD，∴CG=AD。

∵△ADF∽△GCF，∴FG：AF=CG：AD，即FG=AF=AE+EF=3EF。

【解析】

矩形的性質，三角形外角的性質，等腰直角三角形的判定和性質，正方形的判定，相似三角形的判定和性質。

（2）由題意易證得△ABE∽△FDE，△ADE∽△GBE，△ADF∽△GCF，由AE=2EF，利用相似三角形的對應邊成比例，即可求得FG=3EF。