Question

【題目】如圖，已知拋物線的頂點C在x軸正半軸上，一次函數與拋物線交于A、B兩點，與x、y軸交于D、E兩點．

（1）求m的值．

（2）求A、B兩點的坐標．

（3）點P（a，b）（）是拋物線上一點，當△PAB的面積是△ABC面積的2倍時，求a，b的值．

Answer 1

【答案】（1）3；（2）A（1，4），B（6，9）；（3）=，=．

【解析】

試題分析：（1）拋物線的頂點在x軸的正半軸上可知其對應的一元二次方程有兩個相等的實數根，根據判別式等于0可求得m的值；

（2）由（1）可求得拋物線解析式，聯立一次函數和拋物線解析式可求得A、B兩點的坐標；

（3）分別過A、B、P三點作x軸的垂線，垂足分別為R、S、T，可先求得△ABC的面積，再利用a、b表示出△PAB的面積，根據面積之間的關系可得到a、b之間的關系，再結合P點在拋物線上，可得到關于a、b的兩個方程，可求得a、b的值．

試題解析：（1）∵拋物線的頂點C在x軸正半軸上，∴方程有兩個相等的實數根，∴，解得m=3或m=﹣9，又拋物線對稱軸大于0，即m+3＞0，∴m=3；

（2）由（1）可知拋物線解析式為，聯立一次函數，可得，解得：或，∴A（1，4），B（6，9）；

（3）如圖，分別過A、B、P三點作x軸的垂線，垂足分別為R、S、T，

∵A（1，4），B（6，9），C（3，0），P（a，b），∴AR=4，BS=9，RC=3﹣1=2，CS=6﹣3=3，RS=6﹣1=5，PT=b，RT=1﹣a，ST=6﹣a，∴S△ABC=S梯形ABSR﹣S△ARC﹣S△BCS=×（4+9）×5﹣×2×4﹣×3×9=15，S△PAB=S梯形PBST﹣S梯形ABSR﹣S梯形ARTP=（9+b）（6﹣a）﹣（b+4）（1﹣a）﹣×（4+9）×5=（5b－5a﹣15），又S△PAB=2S△ABC，∴（5b－5a﹣15）=30，即b－a=15，∴b=15+a，∵P點在拋物線上，∴，∴，∴，解得：，∵，∴=，∴=．