Question

【題目】如圖，拋物線y=ax2+bx﹣4與x軸交于A（4，0）、B（﹣2，0）兩點，與y軸交于點C，點P是線段AB上一動點（端點除外），過點P作PD∥AC，交BC于點D，連接CP．

（1）求該拋物線的解析式；
（2）當動點P運動到何處時，BP2=BDBC；
（3）當△PCD的面積最大時，求點P的坐標．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意，得 ，

解得 ，

∴拋物線的解析式為y= ﹣x﹣4

（2）解：設點P運動到點（x，0）時，有BP2=BDBC，

令x=0時，則y=﹣4，

∴點C的坐標為（0，﹣4）．

∵PD∥AC，

∴△BPD∽△BAC，

∴ ．

∵BC= = =2 ，

AB=6，BP=x﹣（﹣2）=x+2．

∴BD= = = ．

∵BP2=BDBC，

∴（x+2）2= ×2 ，

解得x1= ，x2=﹣2（﹣2不合題意，舍去），

∴點P的坐標是（ ，0），即當點P運動到（ ，0）時，BP2=BDBC；

（3）解：∵△BPD∽△BAC，

∴ ，

∴ ×

S△PDC=S△PBC﹣S△PBD= ×（x+2）×4﹣

∵ ，

∴當x=1時，S△PDC有最大值為3．

即點P的坐標為（1，0）時，△PDC的面積最大．

【解析】（1）用待定系數法求出拋物線的解析式，把A（4，0）、B（﹣2，0）兩點，代入拋物線y=ax2+bx﹣4即可；（2）求出點C的坐標為（0，﹣4），由PD∥AC，得到△BPD∽△BAC，得到比例，由勾股定理得到BC= ，求出BD的值，由BP2=BDBC，求出點P的坐標是（ img src="http://thumb.zyjl.cn/questionBank/Upload/2018/02/24/00/3e4277fa/SYS201802240015451442469337_DA/SYS201802240015451442469337_DA.012.png" width="9" height="32" style="-aw-left-pos:0pt; -aw-rel-hpos:column; -aw-rel-vpos:paragraph; -aw-top-pos:0pt; -aw-wrap-type:inline" /> ，0），即當點P運動到（ ，0）時，BP2=BDBC；（3）由△BPD∽△BAC，得到 ， ；S△PDC=S△PBC﹣S△PBD ，得到當x=1時，S△PDC有最大值為3，即點P的坐標為（1，0）時，△PDC的面積最大．