Question

【題目】已知四邊形的對角線，，、、、分別是、、、的中點，則的值是_______．

Answer 1

【答案】118

【解析】

先根據(jù)、、、分別是、、、的中點得到四邊形PQRS是平行四邊形，再根據(jù)平行四邊形的對角線的平方與四條邊邊長的平方的關(guān)系即可得到答案．

∵、、、分別是、、、的中點，

∴=（中位線的性質(zhì)），

同理可得:=

并且有 PS∥BD，PS=BD（中位線的性質(zhì)），

同理可得：QR∥BD，QR=，

∴PS∥QR，（等量替換），

∴四邊形PQRS是平行四邊形，

∴=+（平行四邊形兩條對角線的平方和等于四條邊長的平方和，后附證明過程）

=

=27+32+27+32

=118．

附：四邊形ABCD是平行四邊形，則=+

證明： 如圖，作垂直于E，作垂直于的延長線，交于點F.

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AB∥DC，AB=DC，AD=BC，

∴DE=CF（兩平行線間的距離相等），

∴Rt△AED≌Rt△BFC（HL）

∴AE=BF，

根據(jù)勾股定理得：

,

,

,

=

=

∵（勾股定理）

∴=+（等量替換）．