Question

【題目】（1）如圖1，在正方形ABCD中，E、F分別是邊BC、CD上的點，且∠EAF=45°，把△ADF繞著點A順時針旋轉90°得到△ABG，請直接寫出圖中所有的全等三角形；

（2）在四邊形ABCD中，AB=AD，∠B=∠D=90°.

①如圖2，若E、F分別是邊BC、CD上的點，且2∠EAF=∠BAD，求證：EF=BE+DF；

②若E、F分別是邊BC、CD延長線上的點，且2∠EAF=∠BAD，①中的結論是否仍然成立？請說明理由

Answer 1

【答案】（1）△ADF≌△ABG、△AEF≌△AEG；（2）①證明見解析；②不成立；理由見解析；

【解析】

（1）由旋轉的性質易得△ADF≌△ABG、△AEF≌△AEG；

（2）①如圖，將△ADF繞著點A順時針旋轉，使AD與AB重合，易證△ADF≌△ABG，故∠DAF=∠BAG，AF=AG，DF=BG，由2∠EAF=∠BAD得∠EAF=∠EAG，從而得△AEF≌△AEG，易得證；

②不成立.如圖，將△ADF繞著點A順時針旋轉，使AD與AB重合，得△ABH，可證得△AEF≌△AEH，從而得出EF=BE-DF.

（1）△ADF≌△ABG、△AEF≌△AEG；

（2）①如圖，將△ADF繞著點A順時針旋轉，使AD與AB重合，得△ABG，

∵AB=AD,∠ABC=∠D=，

∴∠ABC+∠ABG=即∠GBC=，

易得△ADF≌△ABG，

∴∠DAF=∠BAG，AF=AG，DF=BG，

∵2∠EAF=∠BAD，

∴∠EAF=∠BAE+∠DAF=∠BAE+∠BAG=∠EAG，

∵AE=AE，

∴△AEF≌△AEG，

∴EF=EG=BE+BG=BE+DF，

即EF=BE+DF.

②不成立

理由如下：如圖，將△ADF繞著點A順時針旋轉，使AD與AB重合，得△ABH，

∵AB=AD,∠B=∠ADC=∠ADF=

∴點H在BC上,易得AF=AH,BH=DF,∠1=∠2

∴∠EAF=∠EAD+∠1=∠EAD+∠2,

∵2∠EAF=∠BAD=∠EAD+∠2+∠EAH，

∴∠EAF=∠EAH，

又∵AE=AE，

∴△AEF≌△AEH，

∴EF=EH=BE-BH=BE-DF,即EF=BE-DF，

∴①中的結論不成立.