Question

【題目】鄰邊不相等的平行四邊形紙片，剪去一個菱形，余下的一個四邊形，稱為第一次操作；在余下的四邊形紙片中再剪去一個菱形，又余下一個四邊形，稱為第二次操作；…依此類推，若第n次操作余下的四邊形是菱形，則稱原平行四邊形為n階準菱形，如圖1，ABCD中，若AB=1，BC=2，則ABCD為1階準菱形．

（1）猜想與計算：
鄰邊長分別為3和5的平行四邊形是階準菱形；已知ABCD的鄰邊長分別為a，b（a＞b），滿足a=8b+r，b=5r，請寫出ABCD是階準菱形．
（2）操作與推理：
小明為了剪去一個菱形，進行了如下操作：如圖2，把ABCD沿BE折疊（點E在AD上），使點A落在BC邊上的點F處，得到四邊形ABFE．請證明四邊形ABFE是菱形．

Answer 1

【答案】
（1）3；12
（2）

解：由折疊知：∠ABE=∠FBE，AB=BF，

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AE∥BF，

∴∠AEB=∠FBE，

∴∠AEB=∠ABE，

∴AE=AB，

∴AE=BF，

∴四邊形ABFE是平行四邊形，

∴四邊形ABFE是菱形

【解析】解：（1）如圖1，

利用鄰邊長分別為3和5的平行四邊形進行3次操作，所剩四邊形是邊長為1的菱形，
故鄰邊長分別為3和5的平行四邊形是3階準菱形：
如圖2，

∵b=5r，
∴a=8b+r=40r+r=8×5r+r，
利用鄰邊長分別為41r和5r的平行四邊形進行8+4=12次操作，所剩四邊形是邊長為1的菱形，
故鄰邊長分別為41r和5r的平行四邊形是12階準菱形：
所以答案是：3，12
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解菱形的性質的相關知識，掌握菱形的四條邊都相等；菱形的對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角；菱形被兩條對角線分成四個全等的直角三角形；菱形的面積等于兩條對角線長的積的一半．