Question

【題目】已知：AB，PQ是圓O的兩條直徑，連接PB，AQ．
（1）如圖①，求證：AQ∥BP，AG∥BP；
（2）如圖②，過點B作BC⊥PQ于點D，交圓O于點C，在DG上取一點K，使DK=DP，求證：四邊形AQKC是平行四邊形．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵ = ，

∴∠P=∠A，

∵OA=OQ，

∴∠A=∠Q，

∴∠P=∠Q，

∴AQ∥PB．

∵∠AOQ=∠BOP，

∴ = ，

∴AQ=BP；

（2）證明：∵PQ⊥BC，

∴BD=CD，

又∵PD=DK，

∴BC與PK互相垂直且平分，

∴四邊形BKCP為菱形；

∴PB∥CK，且PB=CK，

∵PB∥AQ，

∴CK∥AQ，

∵PB=AQ，

∴CK=AQ，

∵CK∥AQ，且CK=AQ，

∴四邊形AQKC為平行四邊形．

【解析】（1）由同弧所對的圓周角相等得出∠P=∠A，由OA=OQ得出∠A=∠Q，那么∠P=∠Q，AQ∥PB．根據∠AOQ=∠BOP，得到 = ，那么AQ=BP；（2）先由垂徑定理得出BD=CD，又PD=DK，得出四邊形BKCP為菱形，根據菱形的性質得出PB∥CK，再證明CK∥AQ，且CK=AQ，那么四邊形AQKC為平行四邊形．
【考點精析】本題主要考查了平行四邊形的判定和圓周角定理的相關知識點，需要掌握兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形：兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形；一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形；兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形；對角線互相平分的四邊形是平行四邊形；頂點在圓心上的角叫做圓心角;頂點在圓周上，且它的兩邊分別與圓有另一個交點的角叫做圓周角;一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半才能正確解答此題．