Question

【題目】如圖，⊙O的半徑為1，A，P，B，C是⊙O上的四個點. ∠APC=∠CPB=60°.

(1)試探究線段PA，PB，PC之間的數(shù)量關系，并證明你的結(jié)論；

(2)當點P位于什么位置時，四邊形APBC的面積最大？求出最大面積.

Answer 1

【答案】(1) PA+PB=PC;(2) .

【解析】試題分析：（1）在PC上截取PD=AP，則△APD是等邊三角形，然后證明△APB≌△ADC，證明BP=CD，即可證得；

（2）過點P作PE⊥AB，垂足為E，過點C作CF⊥AB，垂足為F，把四邊形的面積轉(zhuǎn)化為兩個三角形的面積進行計算，當點P為的中點時，PE+CF=PC從而得出最大面積.

試題解析：（1）在PC上截取PD=AP，如圖，

又∵∠APC=60°，

∴△APD是等邊三角形，

∴AD=AP=PD，∠ADP=60°，即∠ADC=120°．

又∵∠APB=∠APC+∠BPC=120°，

∴∠ADC=∠APB，

在△APB和△ADC中，

，

∴△APB≌△ADC（AAS），

∴BP=CD，

又∵PD=AP，

∴PC=BP+AP．

（2）當點P為的中點時，四邊形APBC的面積最大．

理由如下，如圖，過點P作PE⊥AB，垂足為E．

過點C作CF⊥AB，垂足為F．

∵S△APB=ABPE，S△ABC=ABCF，

∴S四邊形APBC=AB（PE+CF），

當點P為的中點時，PE+CF=PC，PC為⊙O的直徑，

∴此時四邊形APBC的面積最大．

又∵⊙O的半徑為1，

∴其內(nèi)接正三角形的邊長AB=，

∴S四邊形APBC=×2×=.