Question

【題目】如圖，在△ABC中，AC＝BC＝2，∠C＝90°，將一塊等腰三角板的直角頂點放在斜邊AB的中點P處，將三角板繞點P旋轉，三角板的兩直角邊分別交射線AC、CB于D、E兩點．如圖①、②、③是旋轉三角板得到的圖形中的3種情況，研究：

（1）三角板繞點P旋轉，觀察線段PD與PE之間有什么數量關系？并結合圖②說明理由．

（2）三角板繞點P旋轉，△PCE是否能成為等腰三角形？若能，指出所有情況（即寫出△PCE為等腰三角形時BE的長）；若不能，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）PD＝PE，理由見解析；（2）BE＝0，2-，2+或1.

【解析】

（1）PD=PE，通過證△DPC≌△EPB，可得結論
（2）分三種情況討論①當PC＝PE＝時；②當PC＝CE＝時；③當PE＝EC時，可求解．

解：（1）PD＝PE

如圖

連接PB

∵△ABC是等腰直角三角形，P是AB中點

∴CP⊥AB，∠ACP＝∠BCP＝∠ACB＝45°

∴∠ACP＝∠B＝∠BCP＝45°

∴BP＝CP

∵∠DPC+∠CPE＝90°＝∠BPE+∠CPE

∴∠DPC＝∠EPB，BP＝CP，∠ACP＝∠B

∴△DPC≌△EPB

∴DP＝PE

（2）∵AC＝BC＝2，∠C＝90°

∴AB＝2

∴AP＝BP＝CP＝

△PCE是等腰三角形

當PC＝PE＝時，即B，E重合，BE＝0

當PC＝CE＝時，E在線段BC上，則BE＝2﹣

E在線段BC的延長線上，則BE＝2+

當PE＝EC，且∠PCB＝45°

∴∠PEC＝90°

∴EC＝1

∴BE＝1