Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與軸交于兩點（點在點的左側），與軸交于點．

（1）過點的直線交軸于點，若點是第四象限內拋物線上的一個動點，且在對稱軸的右側，過點作軸交直線于點，作軸交對稱軸于點，以為鄰邊作矩形，當矩形的周長最大時，在軸上有一動點，軸上有一動點，一動點從線段的中點出發以每秒個單位的速度沿的路徑運動到點，再沿線段以每秒個單位的速度運動到點處停止運動，求動點運動時間的最小值：

（2）如圖， 將繞點順時針旋轉至的位置， 點的對應點分別為，且點恰好落在拋物線的對稱軸上，連接．點是軸上的一個動點，連接， 將沿直線翻折為， 是否存在點， 使得為等腰三角形?若存在，請求出點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）（0，3-）或（0，6）或（0，3+）或（0，12）．

【解析】

（1）根據題意設，，以及作關于軸對稱，并過點作直線的垂線交于點即為所求，從而進行分析求解即可；

（2）根據題意分四種情形即①當AA'=A'B時；②當AA'=AB時；③當AA'=A'B時；④當A'B=AB時分別畫出圖形并進行分析求解.

解：（1）設，，

，

，開口向下，

當時，，

最少時間，

，作關于軸對稱，

過點作直線的垂線交于點即為所求，

令y=0，解得

，

，

過作，

.

（2）①當AA'=A'B時，如圖2中，

此時，A'在對稱軸上

對稱性可知∠AC′E=∠A'C′E

又∠HEC′=∠A'C′E

∴∠AC′E=∠HEC′

∴HE=HC'=5 2 ＝3 ，

∴OE=HE-HO=3 3，

∴E(0，33 )，

②當AA'=AB時，如圖3中，設A″C′交y軸于J．

此時AA'=AB=BC'=A'C'，

∴四邊形A'ABC'為菱形，

由對稱性可知，

∠AC'E=∠A'C'E=30°，

∴JE= JC′＝，

∴OE=OJ-JE=6

∴E（0，6）

③當AA'=A'B時，如圖4中，設AC′交y軸于M．

此時，A'在對稱軸上∠MC'E=75°

又∠AMO=∠EMC'=30°

∴∠MEC'=75°

∴ME=MC'

∴MC'=3 ，

∴OE=3+3 ，

∴E（0，3+）.

④當A'B=AB時，如圖5中，

此時AC'=A'C'=A'B=AB

∴四邊形AC'A'B為菱形

由對稱性可知，C'，E，B共線

由拋物線與軸交于兩點（點在點的左側）可知，

令x=0，解得y=3 ；令x=0，解得：x1= ，x2=4 ；

∴A（，0），B(4，0)，OB=4，

∴OE= OB＝12，

∴E（0，12）．

綜上滿足條件的點E坐標為（0，3-）或（0，6）或（0，3+）或（0，12）．