Question

【題目】如圖1，平面直角坐標系xoy中，A(－4，3)，反比例函數的圖象分別交矩形ABOC的兩邊AC，BC于E，F（E，F不與A重合），沿著EF將矩形ABOC折疊使A，D重合．

　　　　　

（1）①如圖2，當點D恰好在矩形ABOC的對角線BC上時，求CE的長；

②若折疊后點D落在矩形ABOC內（不包括邊界），求線段CE長度的取值范圍．

（2）若折疊后，△ABD是等腰三角形，請直接寫出此時點D的坐標．

Answer 1

【答案】（1）①EC＝2； ②；（2）點D的坐標為或

【解析】

（1）①根據A(－4，3)和反比例函數圖象上點的特征可得E、F的坐標，從而可表示出AE、AF并求得，從而證得△AEF∽△ACB，利用相似三角形的性質的折疊的性質可推出，即可求得結果；

②當D在BO上時，由折疊的性質和同角的余角相等證得△AEF∽△BAD，設AF=x，利用勾股定理可列出方程，解之得AF的長，進而求出AE、CE的長，即可得出CE的取值范圍；

（2）由△ABD是等腰三角形，可得或，分情況進行求解即可．

解:（1）①由題意得，，

∵，則，，

∴，，

∴，

∵由A(－4，3)得：，

∴，

∴，

又∵∠A=∠A，

∴△AEF∽△ACB，

∴∠AEF=∠ACB，

∴EF∥CB，

如圖2，連接AD交EF于點H ，

由折疊的性質得：AH=DH，

∵D在BC上，

∴，則，

∴；

②由折疊得EF垂直平分AD，

∴，則，

又∵，

∴，

如圖，當D落在BO上時，∵，

∴△AEF∽△BAD，

∴，則，

∴，

設AF=x，則FB=3－x，FD=AF=x，

在Rt△BDF中，由勾股定理得：，

即，解得：，

∴，

∴，

∴，

∴，即折疊后點D落在矩形ABOC內（不包括邊界），CE的取值范圍為；

（2）∵△ABD是等腰三角形，顯然，

∴或，

①當時，，

由（1）得：，

∴，

如圖，過點D作軸分別交AB、y軸于點M、N，

則，，

∴，，

∴△AEF∽△MBD，

∴，則，

∴，

∴，

∴點D的坐標為；

②當時，如圖，過點D作軸分別交AB、y軸于點M、N，

則，，，

∴，

由（1）得，

∴△AEF∽△MAD，

∴，則，

設，則，

在Rt△MAD中，由勾股定理得：，

即，解得：，

∴，，

∴，，

∴點D的坐標為；

綜上所述，若折疊后，△ABD是等腰三角形，點D的坐標為或．