Question

【題目】閱讀材料，回答問題
在邊長為1的正方形ABCD中，E是AB的中點，CF⊥DE，F為垂足．

（1）△CDF與△DEA是否相似？說明理由；
（2）求CF的長．

Answer 1

【答案】
（1）解：△ADE∽△FCD，理由如下：

∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠A=90°，AB∥CD，

∴∠CDF=∠DEA．

又CF⊥DE，

∴∠CFD=90°，即∠CFD=∠A，

因而，△ADE∽△FCD

（2）解：由題意知，AD=CD=1，AE= ．

在直角△DEA中，有DE= = = ．

由（1）可得： = ，則CF= =

【解析】（1）利用正方形的性質和平行線的性質，由兩角法證明△ADE∽△FCD；
（2）根據勾股定理及相似三角形對應邊成比例求解。
【考點精析】關于本題考查的勾股定理的概念和正方形的性質，需要了解直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2；正方形四個角都是直角，四條邊都相等；正方形的兩條對角線相等，并且互相垂直平分，每條對角線平分一組對角；正方形的一條對角線把正方形分成兩個全等的等腰直角三角形；正方形的對角線與邊的夾角是45o；正方形的兩條對角線把這個正方形分成四個全等的等腰直角三角形才能得出正確答案．