Question

【題目】如圖，正方形ABCD的邊長是9，點E是AB邊上的一個動點，點F是CD邊上一點，CF＝4，連接EF，把正方形ABCD沿EF折疊，使點A，D分別落在點A′，D′處，當點D′落在直線BC上時，線段AE的長為_____．

Answer 1

【答案】2或8

【解析】

分兩種情況：①當D′落在線段BC上時，連接ED、ED′、DD′，由折疊可得，D，D'關于EF對稱，即EF垂直平分DD'，得出DE＝D′E，求出DF＝D′F＝CD﹣CF＝5，CD′＝，得出BD'＝BC﹣CD'＝6，設AE＝x，則BE＝9﹣x，在Rt△AED和Rt△BED'中，由勾股定理得出方程，解方程即可；

②當D′落在線段BC延長線上時，連接ED、ED′、DD′，解法同①．

解：分兩種情況：①當D′落在線段BC上時，連接ED、ED′、DD′，如圖1所示：

由折疊可得，D，D'關于EF對稱，即EF垂直平分DD'，

∴DE＝D′E，

∵正方形ABCD的邊長是9，

∴AB＝BC＝CD＝AD＝9，

∵CF＝4，

∴DF＝D′F＝CD﹣CF＝9﹣4＝5，

∴CD′＝，

∴BD'＝BC﹣CD'＝6，

設AE＝x，則BE＝9﹣x，

在Rt△AED和Rt△BED'中，由勾股定理得：DE2＝AD2+AE2＝92+x2，D'E2＝BE2+BD'2＝(9﹣x)2+62，

∴92+x2＝(9﹣x)2+62，

解得：x＝2，

即AE＝2；

②當D′落在線段BC延長線上時，連接ED、ED′、DD′，如圖2所示：

由折疊可得，D，D'關于EF對稱，即EF垂直平分DD'，

∴DE＝D′E，

∵正方形ABCD的邊長是9，

∴AB＝BC＝CD＝AD＝9，

∵CF＝4，

∴DF＝D′F＝CD﹣CF＝9﹣4＝5，CD′＝，

∴BD'＝BC+CD'＝12，

設AE＝x，則BE＝9﹣x，

在Rt△AED和Rt△BED'中，由勾股定理得：DE2＝AD2+AE2＝92+x2，D'E2＝BE2+BD'2＝(9﹣x)2+122，

∴92+x2＝(9﹣x)2+122，

解得：x＝8，即AE＝8；

綜上所述，線段AE的長為2或8；

故答案為：2或8．