Question

【題目】如圖，∠MAN=60°，點B在射線AM上，AB=4，點P為直線AN上一動點，以BP為邊作等邊三角形BPQ（點B，P，Q按順時針排列），點O是△BPQ的外心．

（1）如圖1，當OB⊥AM時，點O________∠MAN的平分線上（填“在”或“不在”）；

（2）求證：當點P在射線AN上運動時，總有點O在∠MAN的平分線；

（3）當點P在射線AN上運動（點P與點A不重合）時，AO與BP交于點C，設AP=m，用m表示AC·AO；

（4）若點D在射線AN上，AD=2，圓I為△ABD的內切圓．當△BPQ的邊BP或BQ與圓I相切時，請直接寫出點A與點O的距離．

Answer 1

【答案】（1）在；（2）見解析；（3）4m；（4）OA=2或OA=或AO=0．

【解析】

試題分析：（1）在．理由：如圖1所示：連接OP．

∵點O為等邊△BQP的外心，∴∠BOP=2∠BQP=120°，OB=OP．∵OB⊥AM，∴∠ABO=90°．

∵∠A+∠ABO+∠BOP+∠OPA=180°，∴∠OPA=90°．∴OP⊥AN．∵OP=OB，OP⊥AN，OB⊥AM，∴點O在∠MAN的平分線上．

（2）當點A與點P不重合時，如圖2所示：連接OB、OP、OA．

∵點O是等邊三角形BOQ的外心，∴∠BOP=120°，OP=OB．∵∠BAP=60°，∴∠BAP+∠BOP=180°．∴點A、B、O、P共圓．又∵OB=OP，∴∠BAO=∠PAO．∴點O在MAN的角平分線上．當點P與點A重合時．∵點O是等邊三角形BOQ的外心，∴PO平分∠BPQ．∵∠BPQ與∠MAN重合，∴∠PO平分∠MAN．綜上所示，總有點O在∠MAN的平分線．

（3）如圖3所示：連接OB、OP、AO．

∵由（2）可知點B、O、P、A共圓，∴∠BOA=∠BPA．∵AO平分∠MAN，∴∠BAO=∠PAO．

∴△ABO∽△ACP．∴．∴AC·AO=AB·PA．∴AC·AO=4m．

（4）如圖4所示：當點P與點D重合時．

∵∠BAP=60°，BA=4，AD=2，∴BP⊥AP．∴∠BPA=90°．又∵∠PAC=∠MAN=30°，∴∠OCB=∠ACP=60°．

∵O為等邊三角形的外心，∴∠OBC=30°．∴∠BOC=90°．在Rt△AOB中，OA=AB=2．

如圖5所示：當點A與點P重合時．

∵∠BAD=60°，BA=4，AD=2，∴BD⊥AQ．∴∠BDA=90°．∵在Rt△AOD中，∠DAO=30°，AD=2，∴AO=AD÷=2×=．

如圖6所示：

∵∠BAD=60°，BA=4，AD=2，∴BD⊥AN．∴∠BDA=90°．∴∠ABD=30°∵O為△BPQ的外心，∴∠OBD=30°．∴點A與點O重合．∴OA=0．綜上所述，OA=2或OA=或AO=0．