Question

【題目】已知拋物線y=ax2+bx+c．

（Ⅰ）若拋物線的頂點為A（﹣2，﹣4），拋物線經過點B（﹣4，0）

①求該拋物線的解析式；

②連接AB，把AB所在直線沿y軸向上平移，使它經過原點O，得到直線l，點P是直線l上一動點．

設以點A，B，O，P為頂點的四邊形的面積為S，點P的橫坐標為x，當4+6≤S≤6+8時，求x的取值范圍；

（Ⅱ）若a＞0，c＞1，當x=c時，y=0，當0＜x＜c時，y＞0，試比較ac與l的大小，并說明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）①y=x2+4x②當4+6≤S≤6+8時，x的取值范圍為是≤x≤或≤x≤（Ⅱ）ac≤1

【解析】

（I）①由拋物線的頂點為A（-2,-4）,可設拋物線的解析式為y=a（x+2）2-4,代入點B的坐標即可求出a值,此問得解,②根據點A、B的坐標利用待定系數法可求出直線AB的解析式,進而可求出直線l的解析式,分點P在第二象限及點P在第四象限兩種情況考慮：當點P在第二象限時,x＜0,通過分割圖形求面積法結合4+6≤S≤6+8,即可求出x的取值范圍,當點P在第四象限時,x＞0,通過分割圖形求面積法結合4+6≤S≤6+8,即可求出x的取值范圍,綜上即可得出結論,（2）由當x=c時y=0,可得出b=-ac-1,由當0＜x＜c時y＞0,可得出拋物線的對稱軸x=≥c,進而可得出b≤-2ac,結合b=-ac-1即可得出ac≤1．

（I）①設拋物線的解析式為y=a（x+2）2﹣4，

∵拋物線經過點B（﹣4，0），

∴0=a（﹣4+2）2﹣4，

解得：a=1，

∴該拋物線的解析式為y=（x+2）2﹣4=x2+4x．

②設直線AB的解析式為y=kx+m（k≠0），

將A（﹣2，﹣4）、B（﹣4，0）代入y=kx+m，

得：，解得：，

∴直線AB的解析式為y=﹣2x﹣8．

∵直線l與AB平行，且過原點，

∴直線l的解析式為y=﹣2x．

當點P在第二象限時，x＜0，如圖所示．

S△POB=×4×（﹣2x）=﹣4x，S△AOB=×4×4=8，

∴S=S△POB+S△AOB=﹣4x+8（x＜0）．

∵4+6≤S≤6+8，

∴，即，

解得：≤x≤，

∴x的取值范圍是≤x≤．

當點P′在第四象限時，x＞0，

過點A作AE⊥x軸，垂足為點E，過點P′作P′F⊥x軸，垂足為點F，則

S四邊形AEOP′=S梯形AEFP′﹣S△OFP′=（x+2）﹣x（2x）=4x+4．

∵S△ABE=×2×4=4，

∴S=S四邊形AEOP′+S△ABE=4x+8（x＞0）．

∵4+6≤S≤6+8，

∴，即，

解得：≤x≤，

∴x的取值范圍為≤x≤．

綜上所述：當4+6≤S≤6+8時，x的取值范圍為是≤x≤或≤x≤．

（II）ac≤1，理由如下：

∵當x=c時，y=0，

∴ac2+bc+c=0，

∵c＞1，

∴ac+b+1=0，b=﹣ac﹣1．

由x=c時，y=0，可知拋物線與x軸的一個交點為（c，0）．

把x=0代入y=ax2+bx+c，得y=c，

∴拋物線與y軸的交點為（0，c）．

∵a＞0，

∴拋物線開口向上．

∵當0＜x＜c時，y＞0，

∴拋物線的對稱軸x=﹣≥c，

∴b≤﹣2ac．

∵b=﹣ac﹣1，

∴﹣ac﹣1≤﹣2ac，

∴ac≤1．