Question

【題目】如圖，點O是線段AB上的一點，OA=OC，OD平分∠AOC交AC于點D，OF平分∠COB，CF⊥OF于點F．

（1）求證：四邊形CDOF是矩形；
（2）當∠AOC多少度時，四邊形CDOF是正方形？并說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵OD平分∠AOC，OF平分∠COB（已知），

∴∠AOC=2∠COD，∠COB=2∠COF。

∵∠AOC+∠BOC=180°，∴2∠COD+2∠COF=180°。∴∠COD+∠COF=90°。

∴∠DOF=90°。

∵OA=OC，OD平分∠AOC（已知）。

∴OD⊥AC，AD=DC（等腰三角形的“三合一”的性質）。∴∠CDO=90°。

∵CF⊥OF，∴∠CFO=90°。

∴四邊形CDOF是矩形。

（2）解：當∠AOC=90°時，四邊形CDOF是正方形。理由如下：

∵∠AOC=90°，AD=DC，∴OD=DC。

又由（1）知四邊形CDOF是矩形，則四邊形CDOF是正方形。

因此，當∠AOC=90°時，四邊形CDOF是正方形。

【解析】（1）根據角平分線的定義得到∠DOF=90°，根據等腰三角形的性質三線合一，得到∠CDO=90°，再由CF⊥OF，得到四邊形CDOF是矩形；（2）根據正方形的判定方法有一組臨邊相等的矩形是正方形，當∠AOC=90°時OD=DC，得到四邊形CDOF是正方形.
【考點精析】本題主要考查了正方形的判定方法的相關知識點，需要掌握先判定一個四邊形是矩形，再判定出有一組鄰邊相等；先判定一個四邊形是菱形，再判定出有一個角是直角才能正確解答此題．