Question

【題目】如圖，已知拋物線y=ax2﹣x+c與x軸相交于A、B兩點，并與直線y=x﹣2交于B、C兩點，其中點C是直線y=x﹣2與y軸的交點，連接AC．

（1）求拋物線的解析式；

（2）證明：△ABC為直角三角形；

（3）△ABC內部能否截出面積最大的矩形DEFG？（頂點D、E、F、G在△ABC各邊上）若能，求出最大面積；若不能，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=x2﹣x﹣2；（2）見解析；（3）△ABC內部可截出面積最大的矩形DEFG，面積為．

【解析】分析：求出點的坐標，用待定系數法求二次函數解析式即可.

分別求出的長度，用勾股定理逆定理判定即可.

在直角三角形中截出矩形，面積最大，我們易得兩種情形，①一點為C，AB、AC、BC邊上各有一點，②AB邊上有兩點，AC、BC邊上各有一點．討論時可設矩形一邊長x，利用三角形相似等性質表示另一邊，進而描述面積函數．利用二次函數最值性質可求得最大面積．

詳解：(1)∵直線交x軸、y軸于B.C兩點，

∴B(4,0),C(0,2)，

∵過B.C兩點，

∴，

解得，

∴

(2)證明：如圖1，連接AC，

∵與x負半軸交于A點，

∴A(1,0)，

在Rt△AOC中，

∵AO=1，OC=2，

∴

在Rt△BOC中，

∵BO=4，OC=2，

∴

∵AB=AO+BO=1+4=5，

∴

∴△ABC為直角三角形.

(3)△ABC內部可截出面積最大的矩形DEFG,面積為，理由如下：

①一點為C,AB、AC、BC邊上各有一點,如圖2,此時△AGF∽△ACB∽△FEB.

設

∵，

∴，

∴

∴

即當時,S最大,為

②AB邊上有兩點,AC、BC邊上各有一點,如圖3,此時△CDE∽△CAB∽△GAD，

設GD=x，

∵，

∴，

∴

∴

∵，

∴，

∴ ，

∴

即x=1時,S最大,為

綜上所述,△ABC內部可截出面積最大的矩形DEFG,面積為