Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝6，點E是斜邊AB上的一個動點，連接CE，過點B，C分別作BD∥CE，CD∥BE，BD與CD相交于點D．

（1）當CE⊥AB時，求證：四邊形BECD是矩形；

（2）填空：

①當BE的長為______時，四邊形BECD是菱形；

②在①的結論下，若點P是BC上一動點，連接AP，EP，則AP+EP的最小值為______．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）①；②3．

【解析】

（1）根據矩形的判定：有一個角是直角的平行四邊形是矩形即可證明；

（2）①根據菱形的判定定理：對角線互相垂直的平行四邊形是菱形即可求解；

②根據對稱性：連接ED交BC于點P，此時AP+EP＝AD，最小，再過點D作DF垂直AC的延長線于點F，根據勾股定理即可求解．

如圖所示：

（1）∵BD∥CE，CD∥BE，

∴四邊形BDCE是平行四邊形，

∵CE⊥AB，

∴∠BEC＝90°，

∴四邊形BECD是矩形；

（2）①當BE的長為時，四邊形BECD是菱形．理由如下：

連接ED，與BC交于點O，

∵四邊形BDCE是平行四邊形，

當BC和DE互相垂直平分時，四邊形BDCE是菱形，

BO＝BC＝3，OE＝AC＝2，

∴根據勾股定理，得

BE＝＝＝．

故答案為．

②連接AD，與BC交于點P，連接PE，

此時PD＝PE，AP+EP最小，

∴AP+PE＝AP+PD＝AD，

過點D作DF垂直于AC的延長線于點F，

得矩形ODFC，

∴CF＝OD＝2，DF＝OC＝3，

∴AF＝AC+CF＝6，

∴在Rt△ADF中，根據勾股定理，得

AD＝＝＝3．

∴AP+EP的最小值為3．

故答案為3．