Question

【題目】正方形ABCD中，點(diǎn)O是對(duì)角線AC的中點(diǎn)，P是對(duì)角線AC上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PF⊥CD于點(diǎn)F．如圖1，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)O重合時(shí)，顯然有DF=CF．

（1）如圖2，若點(diǎn)P在線段AO上（不與點(diǎn)A、O重合），PE⊥PB且PE交CD于點(diǎn)E．

①求證：DF=EF；

②寫出線段PC、PA、CE之間的一個(gè)等量關(guān)系；并說(shuō)出理由；

（2）若點(diǎn)P在線段OC上（不與點(diǎn)O、C重合），PE⊥PB且PE交直線CD于點(diǎn)E．請(qǐng)完成圖3并判斷（1）中的結(jié)論①、②是否分別成立？若不成立，寫出相應(yīng)的結(jié)論．（所寫結(jié)論均不必證明）

Answer 1

【答案】（1）①證明見解析；②PC=CE+PA；（2）結(jié)論成立.

【解析】整體分析：

(1)連接PD，通過(guò)△BCP≌△DCP證得∠PBC=∠PDC，由四邊形PBCE的內(nèi)角得到∠PED=∠PBC，即可證PD=PE，由等腰三角形的“三線合一”即可；(2)延長(zhǎng)FP交AB于點(diǎn)G，由PC與CF的關(guān)系，結(jié)合EF=DF=AG逐漸轉(zhuǎn)化得到這三條線段間的數(shù)量關(guān)系；(3)根據(jù)題意畫出圖形，對(duì)比(2)中的結(jié)論求解.

解：(1)①連接PD，

∵四邊形ABCD是正方形，AC平分∠BCD，CB=CD，△BCP≌△DCP，

∴∠PBC=∠PDC，PB=PD

∵PB⊥PE，∠BCD=90°，

∴∠PBC+∠PEC=360°-∠BPE-∠BCE=180°，

∴∠PED=∠PBC=∠PDC，∴PD=PE，

∵PF⊥CD，∴DF=EF

②PC=CE+PA，理由如下：

延長(zhǎng)FP交AB于點(diǎn)G，則四邊形ADFG是矩形，∴AG=DF.

∵△AGP是等腰直角三角形，∴AG=AP.

∵△FCP是等腰直角三角形，

∴CP=CF= (CE+EF)

= (CE+DF)= (CE+AG)

= (CE+AP)

=CE+PA.

(3)結(jié)論①成立，結(jié)論②不成立，此時(shí)②中的三條線段之間的數(shù)量關(guān)系為PA=CE+PC.