Question

【題目】當m，n是正實數，且滿足m+n=mn時，就稱點P（m，）為“完美點”，已知點A（0，5）與點M都在直線y=﹣x+b上，點B，C是“完美點”，且點B在線段AM上，若MC=，AM=4，求△MBC的面積

Answer 1

【答案】

【解析】分析：由m+n=mn變式為 可知P(m,m1)，所以在直線y=x1上，點點A(0,5)在直線y=x+b上，求得直線AM:y=x+5，進而求得B(3,2)，根據直線平行的性質從而證得直線AM與直線y=x1垂直，然后根據勾股定理求得BC的長，從而求得三角形的面積．

詳解：
∵m+n=mn且m，n是正實數，

∴,即

∴P(m,m1)，

即“完美點”B在直線y=x1上，

∵點A(0,5)在直線y=x+b上，

∴b=5，

∴直線AM:y=x+5，

∵“完美點”B在直線AM上，

∴由 解得

∴B(3,2)，

∵一、三象限的角平分線y=x垂直于二、四象限的角平分線y=x，而直線y=x1與直線y=x平行，直線y=x+5與直線y=x平行，

∴直線AM與直線y=x1垂直，

∵點B是直線y=x1與直線AM的交點，

∴垂足是點B，

∵點C是“完美點”，

∴點C在直線y=x1上，

∴△MBC是直角三角形，

∵B(3,2),A(0,5)，

∴

∵

∴

又∵ ，

∴BC=1，

∴

點睛:本題考查了一次函數的性質，直角三角形的判定，勾股定理的應用以及三角形面積的計算等，判斷直線垂直，借助正比例函數是本題的關鍵．