Question

（2013•遂寧）如圖，拋物線y=-

1

4

x²+bx+c與x軸交于點(diǎn)A（2，0），交y軸于點(diǎn)B（0，

5

2

）．直線y=kx-

3

2

過(guò)點(diǎn)A與y軸交于點(diǎn)C，與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)是D．
（1）求拋物線y=-

1

4

x²+bx+c與直線y=kx-

3

2

的解析式；
（2）設(shè)點(diǎn)P是直線AD上方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A、D重合），過(guò)點(diǎn)P作 y軸的平行線，交直線AD于點(diǎn)M，作DE⊥y軸于點(diǎn)E．探究：是否存在這樣的點(diǎn)P，使四邊形PMEC是平行四邊形？若存在請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）在（2）的條件下，作PN⊥AD于點(diǎn)N，設(shè)△PMN的周長(zhǎng)為l，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為x，求l與x的函數(shù)關(guān)系式，并求出l的最大值．

Answer 1

分析：（1）將A，B兩點(diǎn)分別代入y=-

1

4

x²+bx+c進(jìn)而求出解析式即可；
（2）首先假設(shè)出P，M點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而得出PM的長(zhǎng)，將兩函數(shù)聯(lián)立得出D點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而得出CE的長(zhǎng)，利用平行四邊形的性質(zhì)得出PM=CE，得出等式方程求出即可；
（3）利用勾股定理得出DC的長(zhǎng)，進(jìn)而根據(jù)△PMN∽△CDE，得出兩三角形周長(zhǎng)之比，求出l與x的函數(shù)關(guān)系，再利用配方法求出二次函數(shù)最值即可．

解答：解：（1）∵y=-

1

4

x²+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（2，0）和B（0，

5

2

）
∴由此得 

-1+2b+c=0 c= 5 2

，
解得

b=- 3 4 c= 5 2

．
∴拋物線的解析式是y=-

1

4

x²-

3

4

x+

5

2

，
∵直線y=kx-

3

2

經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（2，0）
∴2k-

3

2

=0，
解得：k=

3

4

，
∴直線的解析式是 y=

3

4

x-

3

2

，

（2）設(shè)P的坐標(biāo)是（x，-

1

4

x²-

3

4

x+

5

2

），則M的坐標(biāo)是（x，

3

4

x-

3

2

）
∴PM=（-

1

4

x²-

3

4

x+

5

2

）-（

3

4

x-

3

2

）=-

1

4

x2-

3

2

x+4，
解方程 

y=- 1 4 x2- 3 4 x+ 5 2 y= 3 4 x- 3 2

得：

x=-8 y=-7 1 2

，

x=2 y=0

，
∵點(diǎn)D在第三象限，則點(diǎn)D的坐標(biāo)是（-8，-7

1

2

），由y=

3

4

x-

3

2

得點(diǎn)C的坐標(biāo)是（0，-

3

2

），
∴CE=-

3

2

-（-7

1

2

）=6，
由于PM∥y軸，要使四邊形PMEC是平行四邊形，必有PM=CE，即-

1

4

x²-

3

2

x+4=6
解這個(gè)方程得：x₁=-2，x₂=-4，
符合-8＜x＜2，
當(dāng)x=-2時(shí)，y=-

1

4

×（-2）²-

3

4

×（-2）+

5

2

=3，
當(dāng)x=-4時(shí)，y=-

1

4

×（-4）²-

3

4

×（-4）+

5

2

=

3

2

，
因此，直線AD上方的拋物線上存在這樣的點(diǎn)P，使四邊形PMEC是平行四邊形，點(diǎn)P的坐標(biāo)是（-2，3）和（-4，

3

2

）；

（3）在Rt△CDE中，DE=8，CE=6  由勾股定理得：DC=

82+62

∴△CDE的周長(zhǎng)是24，
∵PM∥y軸，
∵∠PMN=∠DCE，
∵∠PNM=∠DEC，
∴△PMN∽△CDE，
∴

△PMN的周長(zhǎng)

△CDE的周長(zhǎng)

=

PM

DC

，即

l

24

=

- 1 4 x2- 3 2 x+4

10

，
化簡(jiǎn)整理得：l與x的函數(shù)關(guān)系式是：l=-

3

5

x²-

18

5

x+

48

5

，
l=-

3

5

x²-

18

5

x+

48

5

=-

3

5

（x+3）²+15，
∵-

3

5

＜0，
∴l(xiāng)有最大值，
當(dāng)x=-3時(shí)，l的最大值是15．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了二次函數(shù)的最值求法以及待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式和函數(shù)交點(diǎn)求法以及平行四邊形的性質(zhì)等知識(shí)，利用數(shù)形結(jié)合得出PM=CE進(jìn)而得出等式是解題關(guān)鍵．