Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，AE平分∠BAF，交⊙O于點E，過點E作直線ED⊥AF，交AF的延長線于點D，交AB的延長線于點C．

（1）求證：CD是⊙O的切線；

（2）∠C＝45°，⊙O的半徑為2，求陰影部分面積．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）2-

【解析】

（1）若要證明CD是⊙O的切線，只需證明CD與半徑垂直，故連接OE，證明OE∥AD即可；

（2）根據等腰直角三角形的性質和扇形的面積公式即可得到結論．

解：（1）連接OE．

∵OA＝OE，

∴∠OAE＝∠OEA，

又∵∠DAE＝∠OAE，

∴∠OEA＝∠DAE，

∴OE∥AD，

∴∠ADC＝∠OEC，

∵AD⊥CD，

∴∠ADC＝90°，

故∠OEC＝90°．

∴OE⊥CD，

∴CD是⊙O的切線；

（2）∵∠C＝45°，

∴△OCE是等腰直角三角形，

∴CE＝OE＝2，∠COE＝45°，

∴陰影部分面積＝S△OCE﹣S扇形OBE＝2×2﹣＝2﹣．