Question

【題目】如圖1，經過原點O的拋物線y＝ax2＋bx（a≠0）與x軸交于另一點A（3，0），在第一象限內與直線y＝x交于點B（4，t）．

（1）求這條拋物線的表達式；

（2）在直線OB下方的拋物線上有一點C，滿足以B，O，C為頂點的三角形的面積最大，求點C的坐標；

（3）如圖2，若點M在這條拋物線上，且∠MBO＝∠ABO，在（2）的條件下，是否存在點P，使得△POC∽△MOB？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=x2-3x；（2）C(2，-2)；（3）（）或（）.

【解析】

（1）由直線解析式可求得B點坐標，由A、B坐標，利用待定系數法可求得拋物線的表達式；
（2）過C作CD∥y軸，交x軸于點E，交OB于點D，過B作BF⊥CD于點F，可設出C點坐標，利用C點坐標可表示出CD的長，從而可表示出△BOC的面積，由函數的最值公式得到C點坐標；
（3）設MB交y軸于點N，則可證得△ABO≌△NBO，可求得N點坐標，可求得直線BN的解析式，聯立直線BM與拋物線解析式可求得M點坐標，過M作MG⊥y軸于點G，由B、C的坐標可求得OB和OC的長，由相似三角形的性質可求得的值，當點P在第一象限內時，過P作PH⊥x軸于點H，由條件可證得△MOG∽△POH，由==的值，可求得PH和OH，可求得P點坐標；當P點在第三象限時，同理可求得P點坐標．

解：（1）∵B（4，t）在直線y=x上，
∴t=4，
∴B（4，4），
把A、B兩點坐標代入拋物線解析式可得,

解得

∴拋物線解析式為y= x2-3x.

(2) 如圖1，過C作CD∥y軸，交x軸于點E，交OB于點D，過B作BF⊥CD于點F，

∵點C是拋物線上第四象限的點，
∴可設C（t，t2-3t），則E（t，0），D（t，t），
∴OE=t，BF=4-t，CD=t-（t2-3t）=-t2+4t，
∴S△OBC=S△CDO+S△CDB=CDOE+CDBF=（-t2+4t）（t+4-t）=-2t2+8t=-2，
∴當t=2時，△OBC的面積最大，為8.

∴C（2，-2）；

（3）存在．連接AB、OM．
設MB交y軸于點N，如圖2，

∵B（4，4），
∴∠AOB=∠NOB=45°，
在△AOB和△NOB中

∴△AOB≌△NOB（ASA），
∴ON=OA=3，
∴N（0，3），
∴可設直線BN解析式為y=kx+3，
把B點坐標代入可得4=4k+3，解得k=，
∴直線BN的解析式為y=，
聯立直線BN和拋物線解析式可得

解得 或，
∴M（-，），
∵C（2，-2），
∴∠COA=∠AOB=45°，且B（4，4），
∴OB=4，OC=2，
∵△POC∽△MOB，
∴==2，∠POC=∠BOM，
當點P在第一象限時，如圖3，過M作MG⊥y軸于點G，過P作PH⊥x軸于點H，

∵∠COA=∠BOG=45°，
∴∠MOG=∠POH，且∠PHO=∠MGO，
∴△MOG∽△POH，
∴===2，
∵M（-，），
∴MG=，OG=，
∴PH=MG=，OH=OG=，
∴P（,）；
當點P在第三象限時，如圖4，過M作MG⊥y軸于點G，過P作PH⊥y軸于點H，

同理可求得PH=MG=，OH=OG=，
∴P（-,）；
綜上可知存在滿足條件的點P，其坐標為（,）或（-,）.