Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，點P在BA的延長線上，弦CD⊥AB于點E，OE：EA=1：2，PA=6，∠POC=∠PCE．

（1）求證：PC是⊙O的切線；

（2）求⊙O的半徑；

（3）求sin∠PCA的值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）半徑r=3；（3）

【解析】

（1）由弦CD⊥AB于點E，所以∠COE＋∠OCE＝90°，又∠POC＝∠PCE，所以，∠PCE＋∠OCE＝90°，即可證明；

（2）由OE：EA＝1：2，可設OE＝k，EA＝2k，則半徑r＝3k，易證△COE∽△POC，所以，CO2＝OEOP，代入即可求得；

（3）過A作AH⊥PC，垂足為H，由PC⊥OC∴AH∥OC，得AH＝2，在Rt△COE中，解得CE＝，在Rt△ACE中，解得AC＝，即可得出結論.

（1）∵弦CD⊥AB于點E，

∴在Rt△COE中∠COE+∠OCE=90°，

∵∠POC=∠PCE，

∴∠PCE+∠OCE=90°，即PC⊥OC，

∴PC是⊙O的切線；

（2）∵OE：EA=1：2，PA=6，

∴可設OE=k，EA=2k，則半徑r=3k，

在Rt△COP中，

∵CE⊥PO垂足為E，

∴△COE∽△POC，

∴CO2=OEOP即（3k）2=k（3k+6），

解得k=0（舍去）或k=1，

∴半徑r=3；

（3）過A作AH⊥PC，垂足為H，

∵PC⊥OC∴AH∥OC，

∴，即，解得AH=2，

在Rt△COE中，由OC=3，OE=1，解得CE=，

在Rt△ACE中，由CE=，AE=2，解得AC=，

在Rt△ACH中，由AC=，AH=2，

∴sin∠PCA===．