Question

【題目】已知，在△ABC與△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=40°，試探究線段BD與CE的數量關系與直線BD與CE相交構成的銳角的度數.

（1）如圖①，當點D，E分別在△ABC的邊AB，AC上時，BD與CE的數量關系是___________，直線BD與CE相交構成的銳角的度數是_____________.

（2）將圖①中△DAE繞點A逆時針旋轉一個角度到圖②的位置，則（1）中的兩個結論是否仍然成立？說明理由.

（3）將圖②中△DAE繼續繞點A按逆時針方向繼續旋轉到點D落在CA的延長線時，請畫出圖形，并直接寫出（1）中的兩個結論是否仍然成立.

Answer 1

【答案】（1）BD=CE；40°；（2）仍然成立；理由見解析；（3）成立；圖形見解析.

【解析】

（1）根據圖形和已知條件即可得出結論；

（2）延長BD、CE，相交于點F，由∠BAC=∠DAE得出∠DAB=∠EAC，利用SAS證得△DAB≌△EAC，根據全等三角形的性質得到BD=CE，∠DBA=∠ECA，根據三角形內角和定理得出∠ABC+∠ACB=140°即∠ABC+∠BCF+∠ECA=140°，利用等量代換得到∠ABC+∠BCF+∠DBA=140°，最后利用三角形內角和定理即可得出結論；

（3）方法同（2）.

（1）BD=CE；40°；

如圖①∵AB=AC，AD=AE

∴AB-AD=AC-AE

∴BD=CE

直線BD與CE相交構成的銳角是∠A，

∴∠A=∠BAC=∠DAE=40°

故答案為：BD=CE；40°；

（2）仍然成立

證明：延長BD、CE，相交于點F，如圖所示

∵∠BAC=∠DAE=40°

∴∠BAC﹣∠BAE=∠DAE﹣∠BAE

即∠DAB=∠EAC

又∵AB=AC，AD=AE，

∴△DAB≌△EAC（SAS）

∴BD=CE，∠DBA=∠ECA

∵∠BAC=40°，∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°

∴∠ABC+∠ACB=140°

∴∠ABC+∠BCF+∠ECA=140°

∴∠ABC+∠BCF+∠DBA=140°即∠FCB+∠FBC=140°

∵∠FCB+∠FBC+∠F=180°

∴∠F=40°

（3）（1）中結論仍然成立，如圖所示

證明：∵∠BAC=∠DAE=40°

∴∠BAC+∠BAE=∠DAE+∠BAE

即∠DAB=∠EAC

又∵AB=AC，AD=AE，

∴△DAB≌△EAC（SAS）

∴BD=CE，∠DBA=∠ECA

∵∠BAC=40°，∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°

∴∠ABC+∠ACB=140°

∴∠ABC+∠BCF+∠FCA=140°

∴∠ABC+∠BCF+∠DBA=140°，即∠FCB+∠FBC=140°

∵∠FCB+∠FBC+∠BFC=180°

∴∠BFC=40°